СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ УДК 517.95 К.Б. Сабитов К теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа В 1956 году Ф.И. Франкль, изучая обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвукой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, пришел к новой математической задаче для уравнения Чаплыгина с нелокальным граничным условием. <...> Приводятся теоремы единственности и существования решения задачи Франкля, изучается спектральная задача для оператора Лаврентьева–Бицадзе, показываются применения этих результатов при построении решения с помощью рядов и указываются нерешенные проблемы. <...> Ключевые слова: уравнение смешанного типа, задача Франкля, обзор, единственность, существование, спектральная задача Франкля, собственные функции, полнота, базисность. <...> Пусть D1 = D ∩ {y > 0}; OP – часть характеристики уравнения (1.1), исвой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, пришел к математической модели, именуемой в настоящее время задачейФранкля. <...> Первые результаты по задаче Франкля для уравнений Лаврентьева uxx + (sgny)uyy = 0 и Чаплыгина K(y)uxx + uyy = 0, K(0) = 0, K′(y) > 0, в D получены А.В. Бицадзе [2], [3] при дополнительном требовании, чтобы кривая Γ, кроме обычного условия гладкости (условия Ляпунова), удовлетворяла геометрическому условию dy(s) ds 0, (1.8) где x = x(s), y = y(s) – параметрические уравнения кривой Γ, s – длина дуги границы области D, отсчитываемая от точки A′ против часовой стрелки. <...> Здесь при выполнении условия (1.8) доказана теорема единственности решения задачи Франкля, а в случае уравнения Лаврентьева на основании теоремы единственности методом интегральных уравнений также доказана теорема существования решения. <...> В работах Ю.В. Девингталя [4]–[6] при изучении задачи Φ для уравнения (1.1), когда K(y) ∈ C1(D), K(−y) = −K(y), λ(y) ≡ 0, условие (1.8) на кривую Γ было несколько ослаблено: неравенство (1.8) должно выполняться в некоторой окрестности точки A и угол θ между положительным направлением оси Ox и направлением <...>