СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ УДК 517.956.328+517.956.225+517.956.8 С.А. Назаров Спектр прямоугольных решеток квантовых волноводов Получены асимптотические формулы для спектральных сегментов тонкой (h ≪ 1) прямоугольной решетки квантовых волноводов, описываемой задачей Дирихле для оператора Лапласа. <...> Установлено, что общепринятая модель квантового графа с традиционными условиями Кирхгофа в узлах дает неправильное представление о строении спектра решетки. <...> Оказывается, длины спектральных сегментов являются бесконечно малыми O(e−δ/h), δ > 0, и O(h) при h → +0, и между ними возникают лакуны с шириной O(h−2) и O(1) соответственно в низко- и среднечастотных диапазонах спектра. <...> Первый спектральный сегмент порожден (единственным) собственным числом в дискретном спектре бесконечного крестообразного волновода Θ. <...> При помощи возмущений конечного набора перемычек построены точки дискретного спектра решетки в любом заданном наперед количестве как ниже существенного спектра, так и внутри лакун. <...> Ключевые слова: квантовой волновод, тонкая прямоугольная решетка, задача Дирихле, лакуны, условия сопряжения Кирхгофа, дискретный спектр, асимптотический анализ. <...> Рассмотрим спектральную задачу Дирихле −∆uh(x) = λhuh(x), x ∈ Ωh, uh(x) = 0, x ∈ ∂Ωh, на тонкой двумерной решетке квантовых волноводов (рис. <...> 1. (a) Решетка квантовых волноводов, (b) изображающий ее граф Одна из целей статьи – описать спектр σh задачи (1.1), приобретающий чересполосную или зонную структуру (band-gap structure), и убедиться в существовании открытых лакун, т. е. интервалов на полуоси R+ = (0,+∞), свободных от спектра σh, но имеющих обе концевые точки в нем. <...> За счет таких возмущений периодической структуры удается образовать точки СПЕКТР ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РЕШЕТОК КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДОВ 33 дискретного спектра в любом предписанном количестве ниже первого спектрального сегмента или внутри одной или нескольких лакун. <...> Помимо уравнений на звеньях предельная задача на графе должна включать условия сопряжения <...>