УДК 517.946 О МАЛЫХ ОДНОМЕРНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ А. В. <...> Глушко, А. С. Рябенко Воронежский государственный университет В работе изучается начально-краевая задача, описывающая малые колебания стратифицированной жидкости в полупространстве. <...> Доказано существование и единственность решения, а также построены асимптотики решения при t Ж•. <...> Начально-краевая задача (1)—(3) описывает в линейном приближении малые акустическо-гравитационные колебания вязкой жидкости. <...> СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1)—(3) функция Wt Теорема 1 (существование решения). <...> Тогда существует и представляется в явном виде (9)(11) решение уравнения (1), компоненты которого являются бесконечно дифференцируемыми функциями аргументов tx номерно ограниченными на множестве tx xŒ• выполнено условие 2, данное решение уравнения (1) является непрерывным, равномерно по xŒ• [0;, , ) Œ•), для любого x0 [ 0 условия (2)—(3). d [0; ) , tŒ• [0; ) и для него выполнены Приведем краткую схему доказательства. <...> Доказательство основывается на лемме 1 и () ≥ 05 2 Лемма 3. <...> Доказательство дифференцируемости компонентов решения задачи (1)—(3) проводится в лемме 4. <...> Если выполнено условие 2, данное решение уравнения (1) является непрерывным, равномерно по xŒ• множестве tx xŒ•) Œ•) x0 0 ≥> , равномерно ограниченными на00, [ Докажем первое утверждение леммы. <...> Непрерывность компонентов решения на множестве xŒ• Pt x0 P g P g() — произвольный многочлен, сходятся t и ∂ Интегралы от выражений eP d - g c 4 l l 1 2 x (), где l g ∂x от l ется аналогично. <...> Доказательство выполнения условия (3) следует из свойств преобразования Лапласа и леммы 3. () удовлетворяет условию 1. <...> Тогда компоненты решения (9)—(11) задачи (1)—(3) являются бесконечно дифференцируемыми функциями аргументов tx Покажем, что компоненты решения задачи (1)—(3) удовлетворяют начальному условию. <...> Рассмотрим доказательство выполнения начального условия на примере Pt x,(). lim Отсюда lim ,Pt x t lim ,Pt x Ж+ g Ж• gg,px 0 . <...> 0 () вытекает из непрерывности <...>