ВЕСТНИК ВГУ, Серия физика, математика, 2002, ¹ 2 УДК 517.984 О СПЕКТРАЛЬНО СОГЛАСОВАННОЙ НОРМЕ И РАДИУСЕ ГЕЛЬФАНДА © 2002 Ю. В. Трубников, В. В. Юргелас Витебский государственный университет, Беларусь Воронежский государственный университет Введено понятие спектрально согласованной векторной нормы (с нормой линейного ограниченного оператора). <...> Приведен пример нормы, спектрально согласованной с классом линейных операторов. <...> Аналог спектрального радиуса для нелинейного оператора, действующего в произвольном метрическом пространстве, назван радиусом Гельфанда. <...> В частности, установлена связь между существованием у данного нелинейного оператора радиуса Гельфанда и его липшиц-непрерывностью в некоторой метрике, эквивалентной исходной. извольное (вещественное или комплексное) банахово пространство с нормой ⋅, () 1. <...> Пусть X проLX пространство линейных ограниченных операторов, действующих в ,X норма элемента (оператора) ⋅|| в котором стандартным образом индуцирована векторной нормой, то есть ||=, ∈ ( )LX . <...> 1 AAx A = sup x Согласно известной теореме И. М. Гельфанда [1] для каждого A ()∈LX существует не зависящий от выбора эквивалентной нормы в ,X предел nlim AA →∞ n||≡, (1) n spr( ) именуемый спектральным радиусом оператора A, причем всегда spr() || AA Кроме того, AA / 1 spr( ) inf nn случае, не является релаксационной для функционала хотя последовательность || , в общем || LX ¡+ () nn 1 ⋅: → = ,∞ () ( [0 )) (соответствующий контрпример см. в [1]). <...> Это обстоятельство затрудняет при практическом вычислении спектрального радиуса прямое использование формулы (1) (см. по этому поводу, например, [2]). ционал spr () то есть spr() spr( =| | , и полуаддитивен, то есть spr() Непосредственно из (1) следует, что функ:→¡LX абсолютно однороден, AA) для любого числа AB + +≤ =,n∈= {1,2,.}, A / ≤. <...> Если через () spr() ( ра A имеет место представление в виде сходящегося (по норме () К. Неймана <...> в котором f ∈X заданный элемент, одно∗ R значно разрешимо в X и его решение x∗ допускает представление () Этот же результат <...>