Национальный цифровой ресурс Руконт - межотраслевая электронная библиотека (ЭБС) на базе технологии Контекстум (всего произведений: 468610)
Консорциум Контекстум Информационная технология сбора цифрового контента

Теория вероятностей для экономистов (2500,00 руб.)

0   0
Первый авторБольшакова Л. В.
ИздательствоМ.: Издательство "Финансы и статистика"
Страниц208
ID49274
АннотацияДаны основные понятия и утверждения теории вероятностей. Рассмотрены случайные события и их вероятности, случайные величины и законы их распределения. Краткое и простое изложение теории сопровождается большим количеством задач, в том числе экономического содержания, с подробным решением. Предлагается достаточное количество задач для самостоятельного решения, к которым даны ответы.
Кем рекомендованоУМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики
Кому рекомендованоДля студентов, аспирантов и преподавателей вузов экономической направленности.
ISBN978-5-279-03356-0 (Финансы и статистика)
УДК519.2:33(075.8)
ББК22.171я73
Большакова, Л.В. Теория вероятностей для экономистов / Л.В. Большакова .— учеб. пособие .— М. : Издательство "Финансы и статистика", 2009 .— 208 с. — Библиогр. - с. 196-197 .— ISBN 978-5-279-03356-0 (Финансы и статистика)

Предпросмотр (выдержки из произведения)

Рассмотр ены случайны е события и их в еро ятнси, услйчаные велич ны и закон ы и х рпасед лния. <...> Все эт и мет оды базиртсяую на осн вых понятих и утверж дниях теори вероятн сй. <...> Пос бие сот и из дву х разделов, посвяще ных двум основым понятим еотри вертносяй: чайнымслу тиямсобы и случайным венличам. <...> Многие зад ачи т еори вероятн сй в сво ем р ешни использутю оснв ые правила и формулы инакомбтр. <...> В главе 2 опредлятс пон ятие случайно г со бытия, выясняютс, каим могут быть события и каие де йствия можн про вдить над случайными со бытиям. <...> В главе 3 даются оснвые теормы теори вероятнсй – теормы сложения и умножеия, а также следтвия из этих теоемр – ламурфонйлпти осяерв и алмур,фоесайБ а в еалг 4 расмт ивюя н езависмые испытан я и осн вые утве ржден ия, связа ные с ним. <...> В главе 5 даны поня ти айно случ ,еличныв етдискрной и непрвойы учайныхсл вен.лич собеО внимае уделно закону распедлния случайной величны. <...> Рас мт риве ся общая фор ма закона – функция распедлния и частные форм ы закона д ля дискрет ной 3 случайно елв ичны – ря д и многульик р аспе длн ия, для ернпывой нывелич – плотнсь распедлния верояттеной.с ав Гл 6 енавящпос ымл чи кастерх йныучасл е-в личн. <...> Главн ые из этих хар кте ис – мате ичско ожидан ие, д испер я и средн ква тичесо отклнеи – разобраны достачн подр бн. <...> В главе 7 расмт ивюя законы распед лния случайных вели чн: для дискр етной случайно вел ичны – э то биномиальный, гео мт р ическй, гипе р гоме т р иче ск й закон ы и закон Пуасон , для непр ыв ой – это р авноме <...>
Теория_вероятностей_для_экономистов.pdf
Стр.1
Стр.2
Стр.3
Стр.4
Стр.5
Стр.6
Стр.7
Стр.8
Стр.205
Стр.206
Стр.207
Теория_вероятностей_для_экономистов.pdf
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % 2009
Стр.1
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % УДК 519.2:33(075.8) ББК 22.171я73 Б79 РЕЦЕНЗЕНТЫ: Кафедра прикладной информатики и информационных технологий Санкт-Петербургского университета государственной противопожарной службы МЧС России; А.И. Попов, Заслуженный работник высшей школы РФ, заслуженный деятель науки Республики Бурятия, доктор экономических наук, профессор Б79 Большакова Л.В. Теория вероятностей для экономистов: учеб. пособие / Л.В. Большакова. — М.: Финансы и статистика, 2009.— 208 с.: ил. ISBN 978-5-279-03356-0 Даны основные понятия и утверждения теории вероятностей. Рассмотрены случайные события и их вероятности, случайные величины и законы их распределения. Краткое и простое изложение теории сопровождается большим количеством задач, в том числе экономического содержания, с подробным решением. Предлагается достаточное количество задач для самостоятельного решения, к которым даны ответы. Для студентов, аспирантов и преподавателей вузов экономической направленности, а также для практических работников, менеджеров и экономистов. Б 010(01)– 2009 0702000000– 138 44–2008 ISBN 978-5-279-03356-0 УДК 519.2:33(075.8) ББК 22.171я73 © Большакова Л.В., 2009 © Издательство «Финансы и статистика», 2009
Стр.2
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % Предисловие В настоящее время для решения многих практических задач в сфере экономики и финансов применяются различные математико-статистические методы. Все эти методы базируются на основных понятиях и утверждениях теории вероятностей. В условиях рыночной экономики теория вероятностей как дисциплина, изучающая различного рода случайности, становится неотъемлемой частью общего образования специалиста в области экономики и финансов. Данное пособие написано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта дисциплины «Математика» для специальностей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Менеджмент организаций» и «Налоги и налогообложение». Пособие состоит из двух разделов, посвященных двум основным понятиям теории вероятностей: случайным событиям и случайным величинам. Первый раздел включает четыре главы. Многие задачи теории вероятностей в своем решении используют основные правила и формулы комбинаторики. При этом правильность решения всей задачи во многом определяется правильностью выбора той или иной формулы комбинаторики, поэтому основным правилам и понятиям этой науки посвящена глава 1. В главе 2 определяется понятие случайного события, выясняются, какими могут быть события и какие действия можно проводить над случайными событиями. Далее в этой главе приводятся различные определения вероятности случайного события. В главе 3 даются основные теоремы теории вероятностей – теоремы сложения и умножения, а также следствия из этих теорем – формула полной вероятности и формула Байеса, а в главе 4 рассматриваются независимые испытания и основные утверждения, связанные с ними. Второй раздел состоит из трех глав. В главе 5 даны понятия случайной величины, дискретной и непрерывной случайных величин. Особое внимание уделено закону распределения случайной величины. Рассматривается общая форма закона – функция распределения и частные формы закона для дискретной 3
Стр.3
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % случайной величины – ряд и многоугольник распределения, для непрерывной величины – плотность распределения вероятностей. Глава 6 посвящена числовым характеристикам случайных величин. Главные из этих характеристик – математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение – разобраны достаточно подробно. В главе 7 рассматриваются законы распределения случайных величин: для дискретной случайной величины – это биномиальный, геометрический, гипергеометрический законы и закон Пуассона, для непрерывной – это равномерный, показательный и нормальный законы распределения. При изложении материала для лучшего его понимания и усвоения приводится много примеров с подробным решением. Окончание примера обозначается символом . Каждая глава завершается задачей для самостоятельного решения. В конце книги приведены необходимые для решения некоторых задач математико-статистические таблицы (приложения 1), тесты для контроля знаний (приложение 2) и предметный указатель основных понятий, рассматриваемых в пособии. Пособие написано на основе многолетнего преподавания автором в высших учебных заведениях разделов и дисциплин «Математика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрика» и др. Автор выражает признательность уважаемым рецензентам за ценные замечания, которые улучшили изложение материала; особая благодарность проффессору кафедры математического моделирования экономических процессов Финансовой академии при Правительстве РФ доктору физико-математических наук М.С. Красу за тщательное прочтение руковиси.
Стр.4
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % Введение Это учение, объединяющее точность математических доказательств с неопределенностью случая и примиряющее эти, казалось бы, противоречивые элементы, с полным правом может претендовать на титул «математика случайного». Блез Паскаль Теория вероятностей занимает особое место в семье математических наук: эта наука изучает особого рода законы, управляющие случайными явлениями. Практически все события и явления, которые совершаются в окружающем нас мире, взаимосвязаны – одни из них являются следствием (исходом) других и, в свою очередь, служат причиной третьих. Во многих явлениях наряду с совершенно определенными исходами встречаются и неоднозначные исходы. Если первые можно предсказать точно, то вторые допускают лишь вероятностные предсказания. Неоднозначность исходов прежде всего связана со случайностями различного рода, которые непосредственно влияют на рассматриваемое явление. Со случайностями мы встречаемся очень часто, значительно чаще, чем это принято считать. Случаен результат встречи двух футбольных команд одного и того же уровня. Случайно число очков, выпавших при одном броске игрального кубика. Выручка торгового предприятия за определенный период времени, например за 30 дней, изменяется от месяца к месяцу случайным образом. В основе любого процесса массового обслуживания – торговли, медицинской помощи, телефонной связи, транспортных услуг и т.д. – лежит совокупность случайных факторов. Мысль о возможности количественной оценки некоторой «случайности» прошла длительный путь, прежде чем преобразовалась в конкретные понятия, используемые в практических задачах и научных исследованиях. Некоторые идеи о случайных 5
Стр.5
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % явлениях и случайных событиях появились у человечества еще в глубокой древности. В трудах мыслителей Эллады, таких, как Демокрит, Платон, Аристотель, можно найти интересные мысли о случайных и неслучайных явлениях. Имеются общие высказывания о случайных явлениях и в произведениях древнеиндийских и китайских авторов. Однако до XVII в. не существовало никаких общих правил для решения вопросов, связанных со случайными явлениями, да и сами эти вопросы не подвергались никакому систематическому анализу. Лишь с середины XVII в. теория вероятностей стала оформляться и развиваться как наука в работах замечательных французских ученых Б. Паскаля и П. Ферма, а также голландского ученого Х. Гюйгенса. Формирование интереса к задачам, в которых исследуется возможность оценки появления того или иного случайного события или возможность оценить последствия влияния некоторых случайных факторов на результат, происходило прежде всего под влиянием развития страхового дела. Однако толчком для того чтобы великие математики обратили внимание на частные вопросы, связанные с различными случайными событиями, послужили азартные игры, игры в кости и карты. Как сказал знаменитый французский ученый С. Пуассон: «Задача, относящаяся к азартным играм … была источником теории вероятностей». Первый трактат по теории вероятностей был написан Х. Гюйгенсом в 1657 г. Он назывался «О расчетах при азартных играх». Уже в этой книге ученый указывал на возможность возникновения новой науки: «… при внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма интересной». Классическое определение вероятности случайного события было впервые сформулировано, хотя и в далеко не совершенной форме, в знаменитом труде «Искусство предположений» известного швейцарского математика Я. Бернулли. Окончательно это определение оформилось позднее – в работе П. Лапласа «Аналитическая теория вероятностей». В развитии понятия вероятности несомненную роль сыграл французский естествоиспытатель Л. Бюффон в связи с интересовавшими его задачами естествознания, в особенности происхождения Солнечной системы. Он ввел понятие геометрической вероятности и рассмотрел ряд задач, связанных с этим понятием. В частности, ему принадлежит известная задача о 6
Стр.6
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % бросании иглы, которая занимала многих. Решение этой задачи позволяло экспериментально определить число . В нашей стране интерес к теории вероятностей фактически возник только в первой половине XIX в., когда по разным поводам к ней обращались такие выдающиеся исследователи, как Н.И. Лобачевский, В.Я. Буняковский и др. Существенный вклад в развитие теории вероятностей внесли замечательные русские ученые П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов. Широкое применение вероятностных представлений в физике и в самых различных областях практической деятельности человека привело к тому что к началу ХХ в. назрела необходимость уточнения понятия вероятности. Это было необходимо, в частности, для того, чтобы избежать спекуляций, связанных с неоправданными применениями этой теории, опиравшимися лишь на «житейские» представления. Уточнение понятия вероятности произошло на основе аксиоматического подхода. Такой подход основывается на некоторых положениях (аксиомах), из которых выводятся все остальные положения в результате применения определенных, четко сформулированных правил. Общепринятое сегодня аксиоматическое определение вероятности было разработано академиком А.Н. Колмогоровым и изложено им в книге «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.). Предложенная аксиоматика поставила понятие вероятности на строгую математическую основу, в результате чего теория вероятностей окончательно оформилась как полноправная математическая дисциплина. Теория вероятностей, или, как она называлась раньше, «математика случайного», – наука, изучающая специальные методы для решения задач, возникающих при изучении массы случайных явлений. Этой массе свойственна тенденция к устойчивости, стабильности. Оказывается, существуют специфические закономерности, управляющие однородными массами случайных событий, на что указывали еще К. Маркс и Ф. Энгельс: «Но где на поверхности происходит игра случайности, там сама эта случайность всегда оказывается подчиненной внутренним скрытым законам. Все дело лишь в том, чтобы открыть эти законы». Открыть закономерность в массе случайных событий и явлений – вот замысел науки о случайном. Теория вероятностей 7
Стр.7
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Ее методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат однородных случайных явлений. Следовательно, зная законы, управляющие массами случайных явлений, можно добиться при необходимости целенаправленного изменения хода случайных явлений, их контроля. Из всего вышеописанного видно, насколько велика роль понятия вероятности. О значении этого понятия для всей современной науки прекрасно написал один из наших философов, работающих над методологическими проблемами естествознания, – Ю.В. Сачков: «Само понятие вероятности можно, не боясь преувеличений, назвать знаменем теоретического естествознания ХХ века, по крайней мере, первой его половины». Теперь уже начало XXI в., однако влияние теории вероятностей на естествознание, инженерное дело, организацию производства, военное дело продолжает возрастать. Одной из самых важных сфер применения теории вероятностей в настоящее время является экономика. Элемент случайности должен постоянно учитываться в рыночных отношениях. Планирование в условиях неопределенности, исследование и прогнозирование экономических явлений невозможны без построения экономико-математических и эконометрических моделей, без корреляционного и регрессионного анализа и многих других методов, опирающихся на теорию вероятностей. На теорию вероятностей опирается и математическая статистика, основной метод которой – выборочный метод – широко применяется при исследовании и решении ряда экономических задач. Многие разделы теории вероятностей за последние десятилетия превратились в отдельные отрасли науки. Возникли такие дисциплины, как теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации, эконометрика и др.
Стр.8
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % Оглавление Предисловие ............................................................................... 3 Введение..................................................................................... 5 Случайные события и их вероятность.................................................................... 9 Гл а в а 1. Комбинаторика, ее основные понятия и правила .... 10 1.1. Понятие комбинаторики ........................................ 10 1.2. Основные правила комбинаторики........................ 11 1.3. Основные элементы комбинаторики ..................... 12 1.3.1. Размещения ................................................... 13 1.3.2. Перестановки ................................................ 17 1.3.3. Сочетания ...................................................... 19 Задачи для самостоятельного решения .......................... 21 Гл а в а 2. Понятие случайного события и его вероятности..... 26 2.1. Понятие и виды случайных событий ..................... 26 2.2. Основные операции над случайными событиями.... 33 2.3. Понятие вероятности случайного события ............ 36 2.3.1. Статистическое определение вероятности случайного события ...................................... 37 2.3.2. Классическое определение вероятности случайного события ...................................... 39 2.3.3. Геометрическое определение вероятности ... 42 2.3.4. Аксиоматическое построение теории вероятностей ................................................. 45 Задачи для самостоятельного решения .......................... 47 Гл а в а 3. Основные теоремы теории вероятностей и следствия из них.................................................. 57 3.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий .................................................................. 57 3.2. Теорема умножения вероятностей событий........... 61 3.3. Теорема сложения вероятностей совместных событий ................................................................... 68 205 П ер в ый р а з де л .
Стр.205
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % 3.4. Формула полной вероятности ................................ 72 3.5. Формулы Байеса ..................................................... 75 Задачи для самостоятельного решения .......................... 79 Гл а в а 4. Повторение испытаний ............................................ 84 4.1. Испытания и формула Бернулли ........................... 84 4.2. Локальная предельная теорема .............................. 88 4.3. Формула Пуассона .................................................. 90 4.4. Интегральная предельная теорема ......................... 93 Задачи для самостоятельного решения .......................... 94 Случайные величины и законы их распределения ................................................................ 97 Гл а в а 5. Случайная величина, ее виды и закон распределения ......................................................... 98 5.1. Понятие случайной величины и закона распределения вероятностей .................................. 98 5.2. Формы законов распределения дискретной случайной величины............................................... 101 5.3. Функция распределения случайной величины и ее свойства ........................................................... 104 5.3.1. Функция распределения дискретной случайной величины..................................... 108 5.3.2. Функция распределения непрерывной случайной величины..................................... 110 5.4. Плотность распределения вероятностей и ее свойства ........................................................... 112 Задачи для самостоятельного решения .......................... 118 Гл а в а 6. Числовые характеристики случайных величин ....... 124 6.1. Математическое ожидание и его свойства ............. 124 6.1.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины..................................... 125 6.1.2. Математическое ожидание непрерывной случайной величины..................................... 128 6.1.3. Свойства математического ожидания ........... 129 6.2. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение..... 132 6.2.1. Определение дисперсии и среднеквадратического отклонения ...................................... 133 6.2.2. Свойства дисперсии ...................................... 136 206 В т о р о й р а з д е л .
Стр.206
!"#$$          % &   %'( ) 01   0 % 6.3. Понятия центрированных и стандартных случайных величин ................................................. 139 6.4. Начальные и центральные моменты ...................... 140 Задачи для самостоятельного решения .......................... 146 Гл а в а 7. Конкретные законы распределения случайных величин .................................................................... 151 7.1. Виды законов распределения дискретных случайных величин ................................................. 151 7.1.1. Биномиальный закон распределения ........... 151 7.1.2. Распределение Пуассона ............................... 154 7.1.3. Геометрический закон распределения .......... 157 7.1.4. Гипергеометрическое распределение ............ 160 7.2. Виды законов распределения непрерывной случайной величины............................................... 162 7.2.1. Равномерный закон распределения .............. 162 7.2.2. Показательное распределение....................... 167 7.3. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины............................................... 170 Задачи для самостоятельного решения .......................... 182 Математико-статистические таблицы .............. 188 Тесты для контрольных знаний ....................... 192 Библиографический список ........................................................ 196 Ответы к задачам для самостоятельного решения .................... 198 Предметный указатель ............................................................... 202 П ри П рилоло жен ие же ие 1. н 2.
Стр.207