Для полного понимания от читателя требуется только знакомство с простейшими понятиями квантовой механики, а именно: волновые функции, операторы и их матричные элементы, зависящее и не зависящее от времени уравнения Шрёдингера; также необходимо иметь представление об основах математического анализа, линейной и матричной алгебры. <...> Приближенное разделение уравнений а) Приближение Борна—Оппенгеймера Полное пренебрежение зацепляющими вкладами—самый обычный подход. <...> Теорема Гельмана—Фейнмана При выводе вариационного принципа мы рассматривали произвольные «математические» вариации волновой функции данной системы (данного гамильтониана) с тем, чтобы исследовать поведение функционала энергии при малых изменениях волновой функции в окрестности точного решения. <...> Напротив, теорема Гельмана—Фейнмана рассматривает изменения, вызванные вариациями физических параметров системы (параметров, определяющих ее гамильтониан). <...> В рамках расчетов по методу Хартри—Фока—Рутана вариационная задача решается для заданных (фиксированных) геометрии и базисного набора. <...> ) Следовательно, в случае ограниченного базиса теорема Гельмана—Фейнмана верна, только если базисные орбитали не фиксированы на ядрах, а положения их центров оптимизируются как независимые вариационные параметры. <...> Присутствие в вариации энергии вкладов, вызванных тем, что базисные орбитали «следуют за ядрами» (их иногда называют «силами волновой функции»), значительно затрудняет расчеты градиентов энергии, и, следовательно, оптимизацию молекулярных геометрий, представляющую собой очень важную область приложений квантовой химии. <...> Теорема вириала в приближении Борна—Оппенгеймера В случае фиксированных ядер (приближение Борна—Оппенгеймера), теорема вириала выполняется только для равновесной конфигурации ядер и других стационарных точек ППЭ. <...> ) В случае равновесной конфигурации теорема вириала верна как для точной, так и для некоторых <...>
Избранные_главы_квантовой_химии_доказательства_теорем_и_вывод_формул.pdf
И. Майер
Избранные
главы
квантовой
химии
Доказательства
теорем
Перевод с английского
канд. физ. мат. наук М. Б. Дарховского и
канд. физ. мат. наук А. М. Токмачева
под редакцией
дра физ. мат. наук А. Л. Чугреева
4е издание, электронное
и вывод формул
Москва
Лаборатория знаний
2021
Стр.4
ББКУДК 530.145+541.1
17.8я73
М14
Майер И.
М14 Избранные главы квантовой химии: доказательства теорем
и вывод формул / И. Майер ; пер. с англ. — 4-е изд., электрон.
—М. : Лаборатория знаний, 2021. — 387 с. — Систем. требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана.
—Текст : электронный.
ISBN 978-5-93208-516-5
В учебном издании, написанном специалистом из Венгрии, рассмотрены
основные результаты и точные утверждения квантовой
химии с выводами и доказательствами. Приведены примеры использования
квантово-химических утверждений при анализе конкретных
систем.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников
в области теоретической химии, молекулярной физики и квантовой
механики.
17.8я73
ББКУДК 530.145+541.1
Деривативное издание на основе печатного аналога: Избранные
главы квантовой химии: доказательства теорем и вывод формул
/ И. Майер ; пер. с англ. —М. : БИНОМ. Лаборатория знаний,
2006. — 384 с. : ил. —ISBN 5-94774-499-6.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных техническими средствами защиты авторских прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации
Copyright Kluwer Academic
Publishers/Springer Science +
Business Media, 2003
○c
ISBN 978-5-93208-516-5
○c Перевод на русский язык,
Лаборатория знаний, 2015
Стр.5
Оглавление
Предисловие редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие автора к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
7
9
Глава 1. Гамильтониан Борна—Оппенгеймера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Отделение движения центра масс в квантовой механике . . . . . . 11
1.1. Переход от задачи двух тел к двум задачам одного тела . 11
1.2. Центр масс в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Свободные атомы и атомоподобные системы. . . . . . . . . . . . . 20
2. Приближение Борна—Оппенгеймера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Разделение электронных и ядерных переменных по
Борну—Оппенгеймеру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Почему разделение переменных по Борну—Оппенгеймеру
не является точным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Приближенное разделение уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Замечания по поводу разделения переменных по Борну—
Оппенгеймеру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Глава 2. Общие теоремы и принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1. Вариационный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.1. Среднее значение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2. Вариационный принцип для основного состояния . . . . . . . . 32
1.3. Вариационный принцип как эквивалент уравнения Шрёдингера.
Полезная формулировка вариационного принципа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4. Неравенство Эккарта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Возбужденные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Теорема Гельмана—Фейнмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1. Дифференциальная теорема Гельмана—Фейнмана . . . . . . . 40
2.2. Интегральная теорема Гельмана—Фейнмана . . . . . . . . . . . . 45
3. Теорема вириала в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1. Зависимость физической величины от времени . . . . . . . . . . 47
3.2. Теорема вириала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3. Масштабирование— связь с вариационным принципом . . . 50
3.4. Теорема вириала в приближении Борна—Оппенгеймера . . 52
Стр.380
380
Оглавление
3.5. Теорема вириала и химическая связь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Глава 3. Метод Ритца и ортогонализация по Лёвдину . . . . . . . . . . . . 63
1. Линейный вариационный метод (метод Ритца) . . . . . . . . . . . . . . 63
2. Симметричная ортогонализация по Лёвдину . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.1. Матрица S−1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2. Преобразование S−1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3. Лёвдиновский базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4. Свойство экстремальности симметричной ортогонализации
по Лёвдину . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5. Ортогонализация по Лёвдину. Двумерный пример . . . . . . . 78
3. Линейная независимость базиса и каноническая ортогонализация
по Лёвдину . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1. Собственные значения матрицы интегралов перекрывания.
Мера линейной независимости базиса . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2. Каноническая ортогонализация по Лёвдину . . . . . . . . . . . . . 84
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Глава 4. Метод возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1. Невырожденная теория возмущений Рэлея—Шрёдингера . . . . . 90
1.1. Формулировка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.2. «Алгебраическое» разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.3. Использование приведенной резольвенты в теории возмущений
Рэлея—Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.4. 2n + 1-Теорема Вигнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.4.1. Точность среднего значения энергии, вычисленного
с волновой функцией n-го порядка теории возмущений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.4.2. Вычисление точных поправок к энергии вплоть до
порядка 2n+1 с использованием первых n поправок
к волновой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.4.3. Выражения для поправок к энергии E(2n) и E(2n+1) 109
2. Вариационный метод и теория возмущений. Функционал Хиллерааса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3. Вырожденная теория возмущений Рэлея—Шрёдингера . . . . . . . 115
4. Теория возмущений Бриллюэна—Вигнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.1. Проблема размерной согласованности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5. Размерная согласованность теории возмущений Рэлея—
Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.1. Формальное рассмотрение, основанное на свойствах степенного
ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2. Размерная согласованность разложений в ряд теории возмущений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Стр.381
Оглавление
381
6. Метод разбиения по Лёвдину . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Глава 5. Детерминантные волновые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1. Спин-орбитали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2. Многоэлектронные спиновые состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3. Детерминанты Слэтера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1. Двухэлектронные примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4. Оператор антисимметризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.1. Оператор антисимметризации как проекционный оператор
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.2. Коммутационные свойства оператора антисимметризации 160
4.3. Антисимметризация координат электронов в пространственно
удаленных подсистемах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5. Инвариантность детерминантной волновой функции по отношению
к «смешиванию» занятых орбиталей . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6. Матричные элементы между детерминантными волновыми
функциями: общие формулы Лёвдина для неортогональных орбиталей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1. Перекрывание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1.1. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.1.2. Факторизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.1.3. Частный случай ортонормированных орбиталей
(правила Слэтера) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2. Одноэлектронные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.2.1. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.2.2. Частный случай ортонормированных орбиталей
(правила Слэтера) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.3. Двухэлектронные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.3.1. Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.3.2. Частный случай ортонормированных орбиталей
(правила Слэтера) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7. Теорема парности Лёвдина и ее обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.1. Теорема парности Лёвдина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.2. Расширенная теорема парности Карадакова . . . . . . . . . . . . 188
8. Теорема о существовании орбиталей специальной структуры . 191
8.1. Теорема существования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.2. A posteriori определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Стр.382
382
Оглавление
Глава 6. Метод Хартри—Фока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
1. Вариационный принцип для однодетерминантных волновых
функций: теорема Бриллюэна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1.1. Теорема Бриллюэна для детерминанта, дающего абсолютный
минимум энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
1.2. Теорема Бриллюэна для детерминанта, имеющего стационарную
энергию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
1.3. Алгоритм для решения задачи Хартри—Фока, основанный
на теореме Бриллюэна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
2. Уравнения Хартри—Фока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.1. Неограниченные по спину уравнения Хартри—Фока . . . . . 203
2.2. Альтернативный вывод с использованием множителей
Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
2.3. Альтернативный вывод с использованием специальных вариаций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
3. Теорема Купманса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.1. Орбитальные энергии и полная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4. Метод ОХФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.1. Схемы ОХФ и НХФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.2. Симметрия и метод ОХФ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.3. «Диссоциационная катастрофа» и различные варианты
метода Хартри—Фока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.4. Синглетные и триплетные возбуждения . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5. Теория Хартри—Фока в конечном базисе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.1. Уравнения Хартри—Фока—Рутана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2. Матрица P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.3. Пример использования проекционных операторов в методе
ЛКАО. Уравнения НХФ для последовательной оптимизации
орбиталей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.4. Матрица Фока и энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6. Ограниченный метод Хартри—Фока для открытых оболочек . 250
6.1. Уравнения ОХФО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2. Коэффициенты связи для некоторых систем с открытой
оболочкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7. Градиент энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Глава 7. Анализ заселенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
1. Анализ заселенностей по Малликену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
1.1. Электронная плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
1.2. Анализ заселенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
2. Порядки связей и валентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
2.1. Индекс порядка связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
2.2. Индексы валентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
2.3. Обменная плотность и индекс порядка связи . . . . . . . . . . . . 284
Стр.383
Оглавление
383
2.4. Порядки связей в трехцентровых системах . . . . . . . . . . . . . . 290
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Глава 8. Электронная корреляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
1. Разложение КВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
2. Корреляционная энергия и теорема Несбета . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
3. Методы учета электронной корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
3.1. Метод КВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
3.2. Методы МК ССП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
3.3. Методы многочастичной теории возмущений или теория
возмущений Меллера—Плессета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
3.4. Метод связанных кластеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Глава 9. Разное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
1. Разложение по степеням 1/Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
2. Граничные условия для волновой функции в точках сингулярности
потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
2.1. Сингулярность потенциала взаимодействия электрона с
ядром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
2.2. Сингулярность потенциала электрон-электронного взаимодействия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
3. Асимптотическое поведение волновойфункции на больших расстояниях
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4. Базисные функции: теорема о произведении гауссовых функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5. Проблема преобразования интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Библиографические заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Дополнение редактора перевода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
П1. Отделение движения центра масс в классической механике . . . 353
П2. Переход от задачи двух тел к двум задачам одного тела в классической
механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
П3. Аналогия между дифференциалами и вариациями . . . . . . . . . . . 356
П4. Теорема Эйлера об однородных функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
П5. Теорема вириала в классической механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
П5.1. Среднее полной производной физической величины по
времени при финитном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
П5.2. Теорема вириала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
П6. Электронное уравнение Шрёдингера в атомных единицах . . . . 359
П7. «Бра-кет» формализм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
П7.1. «Бра»- и «кет»-векторы Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
П7.2. Аналогия с матричным формализмом . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Стр.384
384
Оглавление
П7.3. Неортогональный базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
П7.4. Пример использования бра-кет формализма: гипервириальная
теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
П7.5. Проекционные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
П7.6. Разложение единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
П7.7. Спектральное разложение эрмитовых операторов . . . . . . 366
П7.8. Неэрмитовы операторы—биортогональные наборы
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
П7.9. След проекционного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
П8. Сводка формул теории возмущений Рэлея—Шрёдингера (невырожденный
случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
П9. Прямое произведение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
П10. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
П11. Алгоритм ортогонализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
Стр.385