Лощёнова Кафедра прикладной математики Российский университет дружбы народов ул. <...> 6, Москва, Россия, 117198 Относительная эллиптическая теория или, как её назвал в своих работах Б. Ю. Стернин, «проблема Соболева», состоит в том, что в категории гладких пар многообразий (M,X), одно из которых X гладко вложено в другое M, построить фредгольмову эллиптическую теорию и найти формулу индекса для неё. <...> С точки зрения (псевдо)дифференциальных уравнений задача Соболева состоит в том, что рассматривается сравнение Du ≡ f (modX), где D — псевдодифференциальный оператор, а символ «≡» означает равенство левой и правой части с точностью до распределений сосредоточенных на подмногообразии X. <...> Очевидно, в случае, когда размерность подмногообразия больше единицы, сравнение, о котором говорится выше, не определяет фредгольмов оператор, именно ядро этого сравнения является бесконечномерным. <...> Оказывается, что если добавить к рассматриваемому сравнению ещё некоторые операторы B, определённые на подмногообразии X, связанные некоторым алгебраическим условием (типа коэрцитивности) с оператором D, то полученный оператор (D,B) уже будет фредгольмовым в соответствующих пространствах Соболева. <...> Замечательным фактом при этом является то, что это условие может быть сформулировано инвариантным образом как условие эллиптичности некоторого оператора, индуцированного задачей на подмногообразии X и, таким образом, условия эллиптичности оператора D и оператора (D,B) вместе доставляют нам фредгольмов оператор. <...> Эта теорема вместе с формулой индекса была в своё время доказана Б.Ю. Стерниным. <...> В частности, псевдодифференциальным был оператор (D,B), что, между прочим, и позволило дать определение его эллиптичности. <...> Совершенно по другому обстоит дело в ситуации, когда на многообразии M имеется дополнительная структура, например, действие группы Ли. <...> В этом случае оператор (D,B) уже не будет, вообще говоря, псевдодифферециальным оператором и, следовательно <...>