152 МАТЕМАТИКА УДК 512.622 О приводимости в поле рациональных чисел некоторого вида многочлена С. Ф. Кудин* Задача приводимости или неприводимости многочлена с коэффициентами из некоторого поля или кольца является одной из важнейших и одновременно одной из труднейших в алгебре. <...> В настоящей работе предпринята попытка анализа данного вопроса для тринома. <...> О делимости тринома на квадратные трехчлены Определение. <...> Основная задача заключается в том, чтобы выяснить, при каких значениях n и m трином приводим (неприводим) над полем Q ( над кольцом Z). <...> В самом деле, если допустить, что s = 1, то многочлен P(x) должен иметь целый корень. <...> Значит, и трином также будет иметь целый корень. <...> Но его целыми корнями могут быть лишь числа 1 или –1. <...> А это невозможно, потому что сумма трех целых нечетных чисел не может равняться нулю. <...> Выбор знака (–) невозможен, т. к. тогда трином имел бы корни ±1. <...> Выбор знака (+) означает, что корнями тринома являются числа ±i. <...> Число – i проверять не надо, т. к. трином имеет вещественные коэффициенты. <...> Из всех квадратных трехчленов с целыми коэффициентами трином Pn,m(x) = xn + xm + 1 может делиться либо на трехчлен x2 + x + 1, либо на трехчлен x2 – x + 1. <...> Доказательство этой теоремы основано на следуювещественного корня. <...> Трином Pn,m(x) не может иметь более одного вынуждены опустить. <...> – 1), то трином будет иметь, по меньшей мере, два различных корня, а именно: корни уравнения x2 + px – 1 = 0. <...> Уравнение x2 + px + 1 = 0 либо не должно иметь решений, либо иметь одно решение. <...> Одно решение означает то, что корень кратный, а это противоречит лемме. <...> Делимость тринома на многочлен x2 + x + 1 Корнями многочлена x2 + x + 1 будут два комплексно сопряженных числа, являющиеся корнями кубическими из п. <...> Следовательно, трином разделится на многочлен x2 + x + 1 в том и только в том случае, когда числа ζ и ζ – окажутся его корнями. <...> Однако в виду того, что коэффициенты тринома действительны, достаточно выяснить те условия, при которых <...>