МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
И.В. Копытин, А.С. Корнев, Н.Л. Манаков, М.В. Фролов
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Курс лекций
Часть 2
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
Оглавление
Введение
Глава 1. Квазиклассическое приближение
5
6
1.1. Связь квантовой механики с классической . . . . . . . . 6
1.2. Квазиклассическое приближение . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Метод ВКБ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Граничные условия в методе ВКБ . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Формула квантования Бора–Зоммерфельда. Нормировка
квазиклассических волновых функций . . . . . . . . . . . 16
1.6. Прохождение частицы через потенциальный барьер в
квазиклассическом приближении . . . . . . . . . . . . . . 19
Глава 2. Стационарная теория возмущений
22
2.1. Теория возмущений для изолированного уровня . . . . . 23
2.2. Теория возмущений при наличии двух близких уровней . 28
2.3. Теория возмущений при наличии вырождения . . . . . . 31
Глава 3. Вариационный метод
33
3.1. Вариационный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. Вариационный метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3. Вариационный вывод уравненияШредингера для стационарных
состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Глава 4. Теория квантовых переходов
38
4.1. Квантовые переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2. Нестационарная теория возмущений . . . . . . . . . . . . 41
4.3. Адиабатическое и внезапное возмущения . . . . . . . . . 42
4.4. Гармонические и постоянные возмущения.
«Золотое правило Ферми» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Глава 5. Излучение и поглощение света
48
5.1. Гамильтониан взаимодействия квантовой системы с электромагнитным
излучением . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2. Дипольное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
Стр.3
Глава 1
Квазиклассическое приближение
Аналитическое решение стационарного уравнения Шредингера существует
лишь для весьма ограниченного круга потенциалов (осцилляторный,
кулоновский и некоторые другие), так что в большинстве
случаев для определения волновых функций и спектра энергий требуется
использование численных методов. Поэтому важным вопросом
квантовой теории является развитие методов приближенного решения
уравненияШредингера с той или иной точностью в замкнутом (аналитическом)
виде, основанного на ряде допущений (приближений), связанных
с характером конкретной задачи (или целого класса таких задач).
Несмотря на то, что все приближенные методы имеют ограниченную
область применимости, зависящую от характера сделанных приближений,
они позволяют качественно, а порой и количественно, описать
конкретный квантовый процесс. Одним из приближенных методов
решения квантовомеханических задач является квазиклассическое приближение.
Как будет показано ниже, в некоторых случаях (например,
при плавном изменении потенциала внешнего поля) поведение квантовой
системы определяется классическими законами, а квазиклассическое
решение уравнения Шредингера с асимптотической точностью
(т. е. решение тем ближе к точному, чем точнее выполняются условия
применимости) определяет точное решение. Более того, несмотря на
название, квазиклассическое приближение позволяет предсказать ряд
эффектов, не имеющих классических аналогов (например, туннельный
эффект), а также с экспоненциальной точностью рассчитать их наблюдаемые
характеристики.
1.1. Связь квантовой механики с классической
Вначале рассмотрим вопрос о соотношении квантового и классического
описания движения микрочастицы и покажем, что классическое
описание является предельным случаем квантового.
Рассмотрим средние значения координаты x и импульса p квантовой
частицы, которая находится в состоянии Ψ(x, t) в поле с потенциальной
энергией V (x) (для простоты ограничимся одномерным случаем).
Изменение x и p с течением времени определяется соотноше6
Стр.6
ниями:
dt x = 1
d
mp;
m d2x
dt2 = −
dt p = −
d
dV (x)
dx
dV (x)
dx
≡ F,
,
(1.1)
называемыми теоремами Эренфеста 1. Из соотношений (1.1) следует:
(1.2)
ны поля.
Уравнение (1.2) есть квантовый аналог уравнения Ньютона, однако
где F ≡ −
dV
dx — классическая сила, действующая на частицу со стороследует
отметить принципиальную разницу между (1.2) и вторым законом
Ньютона. Действительно, в законе Ньютона сила, действующая
на частицу, вычисляется локально в точке x, в которой находится частица,
в то время как в «квантовое уравнение Ньютона» (1.2) входит
сила, усредненная по всему пространству, а не F(x). Однако, если
состояниеΨ(x, t) локализовано в малой области∆x, включающей точку
x, то соотношение (1.2) можно упростить. Основной вклад в интеграл
для среднего значения дает область ∆x, поэтому, считая V (x) плавной
функцией внутри области локализации частицы, разложим производную
dV /dx в ряд Тейлора по степеням x−x:
dV
dx = dV (x)
dx
где
+ d2V (x)
dx2 (x−x)+ 1
2
dnV (x)
dxn ≡
d3V (x)
dx3 (x−x)2 +. . . , (1.3)
dnV (x)
dxn
x=x
,
и подставим (1.3) в (1.2). Учитывая условия нормировки волновой
функции на единицу, а также нулевой вклад линейного по x−x слагаемого
при усреднении (1.3), имеем:
m d2x
dt2 = −
dV (x)
dx −
H, ˆ
dV (x)
dx
≫
1
2
d3V (x)
dx3 (∆x)2+. . . .
d3V (x)
dx3
(1.4)
Отсюда видно, что условие перехода теоремы Эренфеста (1.2) во второй
закон Ньютона определяется неравенством:
∆2
x.
(1.5)
1 Соотношения (1.1) легко получаются, если воспользоваться определением
оператора производной по времени физической величины F: ˆdF/dt = ∂ ˆ
+ (i/ℏ)[ ˆ F].
7
F/∂t +
Стр.7
Итак, движение «центра масс» пространственного распределения частицы
тем лучше описывается уравнением Ньютона, чем слабее потенциал
зависит от координаты и чем ближе это распределение к точечному.
Следует отметить, что вследствие принципа неопределенности
пространственная локализация волновой функции приводит к разбросу
значений импульса частицы и, как следствие, к нарушению классического
понимания кинетической энергии. Поэтому, помимо соотношения
(1.5), должно выполняться равенство:
p2
2m = p2
2m + (∆p)2
2m ≈ p2
2m .
Чтобы выполнялось (1.6), необходимо выполнение условия
p2 ≫(∆p)2.
(1.6)
(1.7)
Таким образом, квантовая частица ведет себя подобно классической,
если движется в достаточно плавном потенциале с большим импульсом.
В
заключение приведем численную оценку границ применимости
классических законов на примере движения частицы массы m по круговой
орбите радиуса a вокруг силового центра, создающего потенциал
α/r. Подставляя явный вид V (r) = (mα)/r в (1.5), получим:
a2 ≫(∆x)2,
что вместе с (1.7) дает следующее неравенство
a2p2 ≫(∆x)2(∆p2) ∼ ℏ2/4.
Очевидно, что для макроскопических объектов (для которых ap/ℏ≫1)
данное неравенство выполняется с высокой степенью точности.
1.2. Квазиклассическое приближение
Выясним теперь, как выглядит волновая функция квантовой частицы
с массой m в поле V (r, t) в пределе, когда ее квантовое описание с
помощью уравненияШредингера
iℏ ∂
∂t Ψ(r, t) =
ℏ2
−2m
∇2 +V (r, t) Ψ(r, t)
(1.8)
наиболее близко к классическому, и получим более строгое условие применимости
квазиклассического подхода. Для этого представим волновую
функцию в виде:
Ψ(r, t) = exp
8
i
ℏ S(r, t)
,
(1.9)
Стр.8