проектИроваНИе
УДК 51+53
DOI: 10.22227/2305-5502.2017.3.1
АППРОКСИМАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ КАРЛЕМАНА
с.а. духновский
Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет
(НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
аННотацИя. В статье рассматриваются свойства аппроксимационного решения уравнения Карлемана. Решение
задачи Коши с периодическими начальными данными найдено для малых возмущений состояния равновесия. Приведены
теорема существования глобального решения уравнения Карлемана, а также теорема существования нелинейного
уравнения, которое получается из исходного кинетического уравнения. Доказано, что аппроксимационное
решение слабо сходится к исходному решению уравнения Карлемана. Предположено, что решение задачи Коши
распадается на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающую дисперсионную волну.
ключевые Слова: уравнение Карлемана, нелинейное гиперболическое уравнение, Гильбертово пространство,
задача Коши, слабое решение
для цИтИроваНИя: Духновский С.А. Аппроксимационное решение кинетической системы Карлемана // Строительство:
наука и образование. 2017. Т. 7. Вып. 3 (24). Ст. 1. Режим доступа: http://nso-journal.ru.
AN APPROXIMATION SOLUTION OF THE KINETIC
CARLEMAN SYSTEM
s.a. dukhnovskiy
Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU),
26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation
AbstrAct. The properties of approximation solutions of the Carleman equation are discussed in this paper. A solution
of the Cauchy problem with periodic initial data is obtained for small perturbations of the equilibrium state. The theorem of
existence of a global solution of the Carleman equation as well as the theorem of nonlinear equation existence obtained
by the kinetic Carleman equation has been brought over. It has been proved that the approximation solution converges
weakly to the original solution of the Carleman equation. It is assumed that the solutions of the Cauchy problem split into the
superposition of weakly interacting solitons and decreasing dispersion wave.
Key wOrDs: Carleman equation, nonlinear hyperbolic equation, Hilbert space, Cauchy problem, weak solution
FOr cItAtIOn: Dukhnovskiy S.A. Approksimatsionnoe reshenie kineticheskoy sistemy Karlemana [An Approximation
Solution of the Kinetic Carleman System]. Stroitel’stvo: nauka i obrazovanie [Construction: Science and Education]. 2017,
vol. 7, issue 3 (24), paper 1. Available at: http://nso-journal.ru. (In Russian)
Исследуем дискретное уравнение Карлемана
[1–10], которое является частным случаем уравнения
Больцмана:
∂ +∂ = − > ∈
ε
tx
∂ − ∂ = − −
ε
tx
1 (
2
u u x w wx
u x u x wx wx
| =0
( ) = +π = +π( 2 ).
00 0
tt ( ),
( 2 ), ( )
=
( ), | =0
=
0
где ( , ), ( , )
u u w u t xR
w w wu
1 (
2
2
), 0,
2
),
с периодическими начальными условиями
00
(2)
u xt w xt — плотности частиц, одна из
которых движется с единичной скоростью вдоль
оси Ox в положительном направлении, другая — в
противоположном, а параметр ε является аналогом
свободного пробега частицы.
10
1
,
(1)
Уравнение Карлемана (1) описывает смесь
процессов: релаксацию и свободное движение.
Суть релаксации заключается в распространении
частиц в разных направлениях. Уравнение Карлемана
является частным случаем дискретного уравнения
Больцмана. В течение десятков лет исследований
уравнения Больцмана было найдено лишь
несколько точных решений этого уравнения. Изучение
свойств системы Карлемана и поиск ее решений
позволяет исследовать более сложные модели,
такие как система Годунова—Султангазина [5–6]
и Бродуэлла [11–13] для трех и четырех частиц соответственно.
Многие авторы провели численное
исследование уравнения Карлемана и численно исследовали
математическое ожидание, дисперсию и
другие характеристики системных решений Карлемана.
наука
и образоваие
Строительство: Том 7. Выпуск 3 (24)
Стр.1
Аппроксимационное решение кинетической системы Карлемана
странствах W R H L R H Hσ
d
1
ветствующими нормами
(
ˆ
u
ˆ
W RH2,1
;
γ+ σ ) =
LR Hγ+ σ
;
2, ()
dt
ue ut dt
ek ut dt
222
0
+∞
=+
+
∫
0
+∞
0
ˆ =+Hσ
uu ku .
kZ
22 22
0
∫ ∑
∑
γt
∈
σ
∈ 0
u ˆˆ( , ), ( , )
xt w xt — ряды Фурье.
где ee
Подставляя выражение (3) в (1) и (2), получим
систему уравнений для возмущений
12 2
∂ +∂ −x ˆ ˆˆ ˆ ˆ2
ε
t ˆ
∂ − ∂ +tx e
ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ2
ε
2
(
− = −ε e
)
12 2
(
−
γ = εµ µ ∈ ∈(
0 ,
0
теорема 1. Существуют постоянные γ = εµ µ ∈ ∈(
(0,1 , q 0,1) , такие, что для периодических
начальных условий (uw, ˆ с нулевыми средними
u u x w wxtt ( ).
)
| ˆˆ( ), |
= =
00
= =
ˆ
uw q
σσ
0 02
+ ˆ
)
;
00
и ограниченной нормой
( ˆ HH ≤ ε
(
ˆˆ, ),
ze Ft wG t
wL Tz
mm m
kk ek
()
=+ε+
+ε
− wte4 1
ε
++
4,
2
+−
−ε
LT z
BT zT z
wT QT eT z
1/21 ()
() 1( )
() 1( )1 ()
ek kk
−
mm
kk k
( ()
()
4
() ()
−
Bm
единственное решение Z L R Hγ+ σ
нейного уравнения (6), если
()
mm,
∈
2,
( u
Z
ˆˆ ,qq (0,1),
σσ
0 02
mm
HH
() + w
() 2
m
() ≤ ε ∈
)
для которого выполняется неравенство
(
L RH, ≤+ε
0
2,γ+ σ
() )
m ˆˆ .mm
Hσ
c1,σ
1/2
(uw ()
0
()
Hσ
)
() +
mm m
kk kk k
addm iktm
()
() ()
1/2( )1
ek kk
−−
−− −
+ kk
()
() ()
()
.
2,γ+R Hσ
1/2( )
(
)
,
для
(
u xt w xt W R Hγ+ σ ) задачи Коши (4).
1
()
)
(5)
σ> 3/ 2 существует глобальное решение
( , )∈ 2,
В работах [5, 10, 11] система уравнений КарL
,:m
()
лемана сводится к нелинейному уравнению в Гильбертовом
пространстве
0 ,
0является фундаментальной в пространстве
) и m→∞ZZ=
L R Hγ+ σ
2,
,
LR :γ+2,
)
(0,1 , q 0,1)
(
Z z k mk ≠ }
() ()
mm , ,0
)
= {
()
m
k
≤
lim .
m
()
(6) с разными индексами 21
(
≤− +
2, ()
ZZ
eF tF t
() ()
21
−4 1
e
mm 2
−≤
2, ()
LR
ε 21
()
()
γ+
wt mm
kk
+ε −+
2 mm 2
ek ()
() +16
1( )
теорема 2. Пусть σ> 3 / 2. Тогда существует
(
) нели(6)
(),() () −
() 11 ()
BT ZT Z
B
22 2
k
−−
()
,
k TZ TZ11 1
−−
(7) () ()2,γ+
2
++ −
−+
TQ Te TZ
TQ Te TZ
dikt
kk kk
kk kk LR
ad mm
22
−− −
() 11 ()
11 .
−− −
ikt
Умножим вышеуказанное неравенство на 2
(8)
j σ
и возьмем супремум. Оценим, например, разность
билинейных форм. Остальные выражения оцениваются
аналогично. Имеем
11
add mm
()
() ()
() 11 ()
mm m
kk
− () ()
( )( )( )11
+ε −+
+− +
2
21 ()−−1
4 () ()
wG tG t
wL TZ TZ
LT ZL TZ
()
21 ()
()
()
LR
()
ek kk LR
4
B mm
()
22 11
kk
−−
()
()
() ()
21
mm mm
kk
() 11 ()
()
k LR
2, ()
γ+
() ()
()
2
2,γ+
() ()2,γ+
2
LR
(10)
mm m
kk LR
() ()
() ()
2,γ+
+
γ+
2
Рассмотрим разность нелинейных уравнений
mm> при km≤ в
1
u u ww u w w u
w w ww u w w u
2
e (
− = ε e
)
(
−
),
),
с периодическими начальными условиями
00
(4)
k
Ищем решение системы (1)–(2) в виде
2 12
u u w uw w w w() ,
= +ε () ˆˆ,ee ee= +ε
2 12
(3)
uw= — состояние равновесия; ˆˆ( , ), ( , )
u xt w xt
2 22
k ()
σ
kZ0
,
γt
()
бому решению ( ˆˆ )
tx
W ;R Hγ+ σ ) . Более того, она стремится к сла1
2,
(
∞+∞
utxw wu txˆˆ1
1 ˆˆ ,
∫∫
∫
∫∫
∫
0 −− ϕuw tx
ε
+
∂+∂ϕ +− ϕ−
−∞
+∞
+ϕ =
−∞
t 0
=
tx
ε
0
ˆ ,0,
() () () ()
() ()
()
e
,
22
∞+∞ˆˆ1
1 ˆˆ ,
e
−∞
+∞
+ψ =
−∞
wt xdx
=
ε
0
0 +− ψuw tx
ε
+
∂−∂ψ −− ψ+
ˆ ,0t 0
() () () ()
() ()
()
,2 ˆ
,
22
для любых пробных функций ϕ ψ∈ Ч
теорема 4. Последовательность
,.)
1
CR R
∞
0
(
+
dtdx
ut xdx
wtxw wu tx
u xt w xt задачи Коши (4):
,2 ˆ
, ),
( ,
dtdx
ˆ
u
L RH )
2,γ + σ−1
(
;
2,γ+ σ γ+ σ
;
),
2,
(
, ,, с соот)
+
ˆ
u
L RH )
2,γ+ σ
(
;
,
ˆ
m
Будем решать нашу задачу в весовых про(
С.
10–18
теорема 3. Последовательность аппроксимационных
решений
u xt u t() +
()
ˆ
m
w xt w t() +
()
( , ) = 0
( , ) =
()
m
0
()
m
kZ k m∈≤,
kZ k m∈≤,
∑
∑
0
0
фундаментальна по норме Гильбертова пространства
u
t e() ,
()
()
k
w t e() ,
m ikx
k
(9)
m ikx
Science and Education
Construction: Vol. 7. Issue 3 (24)
Стр.2
С.А. Духновский
J wk BT ZT Z
BT ZT Z
=ε
21 ()1
,
ek kk
kZ km
∈≤
−=
=ε
mm m
kk
11 1
k
−−
()
21 ()
2
() 11 ()
wk ik eT zds×
∈≤,01 12 12 2
ek k
kZ km
()
sup
() ()
2σ
−
ik eT zdsT z
i
t
1
∫
1 22
11
()
11
×−
kk kk km
t
12 12 1
+= ,,
.
0
ik eT zdsT z
1
∫
1 11
11
()
11
следующим образом:
2
k k kk k m
t
12 1 2 2
+
= ,,
×−=
()
)
( − −−) 11 ()
ik1
=
k k kk k m
k
max( , )>
12 1 2 2
12 1
+
ik1
≤
∫
0
= ,, ,
k m
∑
( − −−) 11 ()
e Tz ds Tz
ik s t mm
kk kk
1 22
11
(
()
)
11
(
+× Воспользуемся неравенством Гельдера, получаем
+
×−
k k kk k m
t
12 1 2 1
= ,,
∫
()
ik1
0
Применяем данное выражение к выражению
Tz−
того, чтобы оценка выражалась через разность:
2σ
1 ()m
kk
(
Jw k
ik eT zds
=ε
2
e sup
kZ km
kk kk km
kk m
∑
×− +
0
max( ,)>
t
12 12 2
12 1
+= ,,
+− Ч
Ч
∑ ∫ ()
−−1 ()
ik eT zdsT z
ik eT zz ds
1
∫
1
ik st mm
kk
1 22
11
− −−
()
t
11
kk kk km
ik st
∫ik eTk1 zdsT z
−
12 12 1
t
+= ,,
≤
1() −1
0
−×2ik st
−
−−
×
kk kk km
ik st mm
12 12 1
+= ,,
t
≤
2
0
0 kk k
ik eT zz ds
Tz z
1
∫ () ()2,γ+
()
−−
−1
12
1 12
11 1
12
kk k
mm
−1
()
()
11 1
LR
() ()
−
()
∑ ∫ik eT zds
m1
t
kk
−1
22
()
()
2
.
() ()
()
mm
kk k
22
11 1
()
−
2
0
2 21
22 2
−
−1
()
() 11 ()
kk
() ()
()
ik st mm
kk k
()
≤
∈≤,01
t
,
2
∫
0
ik st2() () Ч
−
−1 ()
kk
m2
22
)
(11), а также добавим и вычтем обратный оператор
в
подынтегральных выражениях для
∑ ∫
(
e Tz ds Tz
−
t
2
≤
ik e T z
0
ik s t )
2 (
ik s t mm
kk kk
1 22
11
( − −−) 11 ()
11
)
(
−1 ()
kk
22
(
m2
)ds
) .
Ie dt
∞
0
∫
2 t
∞
−γ
∫ek Tz zdt
mm
21 ()
2
γ−σ
∈≤
t
kZ km20 21
sup
,
1
kk k LR H
−1 mm
22 2
21
()
2,γ+ σ
,
ризованного оператора [3]. Отсюда
(
0
≤−ε
Остается второе слагаемое, которое является
самой нормой. Опять пользуемся оценкой:
I cZ Z
1
3 2
( ) ()
21
mm 2
L RH2,γ+ σ
,
()1m .
)
∞
∫∫
∫
ek ik
00,kZ km10 11
2γt
=≤−
−
ik eT zds
Tz
t
1
≤ ε2 3cZ 2
1
≤−ε
Для параметра J неравенство примет вид
Таким образом, имеем
(
J cZ mm .())
Z Z
1
145 ,,L RH
m2
γ+ σ
())
21
L RH
γ+ σ
(
2, 112,
()22() (
mm)
m
∈≤
−
ik st1() ()
m2
0 kk
() 2
−1 ()
11
kk
m
−1 ()
11
2
()
LR Hγ+ σ
,
2, ()m
()1
.
11
2
LR Hγ+ σ
,
2, ()m
()
1
sup 11 −1 ()
Tz
σ
kk
−
=
−
t eT zds
m
ik st1() ()
−
−1 ()
kk
m2
11
2
()
2
dt
kk k
()
21
22 2
()
()
1
2
≤−γ () ()m .
2
c Tz z
()
Пользуемся тем, что γ = εµ и оценкой линеа
≤×
×−
≤
0
∑ ∫
∫
≤
0
e Tz ds Tz
ik e T z
ik s t mm
kk kk
1 22
11
(
t
2
∫
0
×−
t
)
+
)
ik2 s t− )
(
11
(
−1 ()
kk
22
(
m2
)
ds×
ik st mm
kk
Заметим, что сумму при m2
t
ik e T z
0
ik2 s t− )
(
−1 ()
kk
22
(
m2
() () ()
− −−
11 ()
kk
LR
2, ()
γ+
можно расписать
)
ds×
≤
2
kk
−1
()
∑ ∫ke Tz ds×
−
t
0
ik st2() ()
m1
22
2
(11)
ik st mm
kk
() () ()
− −−
11 ()
kk
+= ,,
kk kk km
≤
∑ ∫
t
0
×− −
0
−
ik st2() ()
−
22
sup,
,
2 ()
01
2
LR
2, ()
γ+
σ −−
mm m
22 2
()
() () −
()
Расписывая норму и внося супремум под знак
интеграла, получаем одно из выражений типа
()
∞
Je
m2 002
12
()
=
2γt
×− Ч
σ
()
zz ds
kk
21
12 12 1
+=
()
,,
≤
22
∈≤,
mm
kk kk km
k
σ ik
sup.1 ()
kZ mmkm kk k
×
Ч
∫∫∑
∫
1
10 2211
11 1
ki eTk1
t
−
11 ()
ножили и разделили на 2k σ
Jiek T
zz ds
1
=××
×−
t
−
σ
supsup
∞
ЧЧ
−
Ч
∫∫
∑
00,
2
ek ik
kZ km10 11
2γt
∈≤
sup 11 −1 ()
Tz
σ
kk
11
k2
kk kk km 2
12 12 1
+= ,,
≤
k
= supsup
2σ
.
Вычисляем супремум
t
Iiek ee T
zz ds
tk Zk m kk
∈≤,
20 21 0 22
()
∫×− ()
ik st2()
−
()
2
mm
21
σ
−γ γ−1
tt
k2 Ч
2
.
−
22
1
t eT zds
m
−
−1 ()
kk
m2
11
2
()
()
dt
tk Zk m kk
ik st
10 21 0
∈≤,
∫
()
()
()
2
k2
mm
21
()
2
−1
0
×−
() ()
−
тогда имеем
2
ik st1() −1
kdt
zdsT z
Другие оцениваются аналогично. Здесь мы умдля
получения нормы.
Далее выносим из-под суммы супремум выражения,
зависящего от параметра k2
ik st2()
t ek Tk2 Ч
2
ik st
−
2
σ
−1
2
наука и образоваие
Строительство: Том 7. Выпуск 3 (24)
Стр.3