Министерство образования Московской области ГБОУ ВО МО «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» Филиал «Протвино» Кафедра математики и естественных наук К. Г. Клименко, Е. А. Козловский, Г. В. Левицкая МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ИЗБРАННЫХ РАЗДЕЛОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРАКТИКУМ Рекомендован учебно-методическим советом филиала «Протвино» университета «Дубна» в качестве практикума для студентов, изучающих курсы «Математический анализ» и «Дополнительные главы высшей математики» Москва, 2014 ББК 22.161 К 49 Р е ц е н з е н т : доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ФГБУ ГНЦ ИФВЭ А. В. <...> Г. К 49 Методы решения некоторых задач избранных разделов высшей математики: практикум / К. Г. Кли менко, Е. А. Козловский, Г. В. Левицкая. <...> ISBN 978-5-7042-2529-4 В данном практикуме рассматриваются методы решения некоторых типов задач из таких разделов общепринятого курса математического анализа, как предел и экстремум функции, градиент и производная функции по направлению, суммирование числовых рядов, дифференциальные уравнения и разложение их решений в степенные ряды и др., которые изучаются на практических занятиях студентами Протвинского филиала международного университета «Дубна». <...> . . . . . . . 51 6.4 Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами . <...> . . . . . 98 8.3 Суммирование числовых рядов с помощью степенных рядов . <...> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4 ВВЕДЕНИЕ В предлагаемом практикуме разбираются методы решения некоторых типов задач из общепринятого курса математического анализа, изучаемые на практических занятиях в Прот винском филиале международного университета «Дубна». <...> ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ 1.1 Бесконечно малые и их использование для вычисления пределов конечно малой при x→ a (в точке a), если α(x) → 0 при x→ a , то есть Определение 1. <...> Приступим, наконец, к основной теме этого параграфа – вычислению пределов с помощью эквивалентных б.м. функций; прежде всего <...>
Методы_решения_некоторых_задач_избранных_разделов_высшей_математики_практикум_.pdf
Министерство образования Московской области
ГБОУ ВО МО «Международный университет природы,
общества и человека «Дубна»
Филиал «Протвино»
Кафедра математики и естественных наук
К. Г. Клименко,
Е. А. Козловский,
Г. В. Левицкая
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
ИЗБРАННЫХ РАЗДЕЛОВ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ПРАКТИКУМ
Рекомендован учебно-методическим советом
филиала «Протвино» университета «Дубна»
в качестве практикума
для студентов, изучающих курсы
«Математический анализ»
и «Дополнительные главы высшей математики»
Москва, 2014
Стр.1
ББК 22.161
К 49
Р е ц е н з е н т :
доктор физико-математических наук,
главный научный сотрудник ФГБУ ГНЦ ИФВЭ
А. В. Разумов
Клименко, К. Г.
К 49
Методы решения некоторых задач избранных разделов
высшей математики: практикум / К. Г. Кли менко,
Е. А. Козловский, Г. В. Левицкая. — М.: Прометей, 2014. —
107(1) с.
ISBN 978-5-7042-2529-4
В данном практикуме рассматриваются методы решения некоторых
типов задач из таких разделов общепринятого курса математического
анализа, как предел и экстремум функции, градиент
и производная функции по направлению, суммирование числовых
рядов, дифференциальные уравнения и разложение их решений
в степенные ряды и др., которые изучаются на практических
занятиях студентами Протвинского филиала международного
университета «Дубна». Он может быть полезным и для изучающих
курс высшей математики в технических вузах. Кроме того,
практикум предназначен для подготовки студентов к ежегодному
тестированию по высшей математике, проводимому в университете
«Дубна».
Рекомендуется студентам первых курсов, которые претендуют
на хорошую или отличную оценку за экзамен по математическому
анализу и дополнительным главам высшей математики в университете
«Дубна».
ББК 22.16
ISBN 978-5-7042-2529-4
© Клименко К.Г., Козловский Е. А., Левицкая Г. В., 2014
© Издательство «Прометей», 2014.
Стр.2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1 Бесконечно малые и их использование
для вычисления пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Раскрытие неопределенностей вида 1∞
. . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ . . . . . . . . 15
2.1 Дифференцирование функции одной переменной . . . . . . . 15
2.2 Частные производные функции
нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Производная неявно заданной функции . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Наибольшее и наименьшее значения функции
одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Наибольшее и наименьшее значения функции
нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Задачи на условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . 34
4.1 Неопределённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1 Градиент и производная по направлению. . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . . . . . 42
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) . . . . . . . . . . . . 48
6.1 Задачи, связанные с основными понятиями ДУ . . . . . . . . 48
6.2 Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . 51
6.4 Линейные однородные ДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.5 Линейные неоднородные ДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7. ЗАДАЧИ НА ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.1 Необходимый признак сходимости числового ряда . . . . . 65
7.2 Достаточные признаки сходимости
положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3 Некоторые методы суммирования числовых рядов . . . . . . 84
3
Стр.3
8. ЗАДАЧИ НА СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.1 Представление неявной функции с помощью
степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2 Интегрирование ДУ с помощью степенных рядов . . . . . . 98
8.3 Суммирование числовых рядов с помощью
степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4
Стр.4