УДК 517.3
Некоторые нестандартные доказательства
и задачи в курсе математического анализа
© А.В. Неклюдов
МГТУ им. <...> Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В настоящей статье рассмотрены несколько вопросов и задач, дополняющих основной курс математического анализа в техническом университете: вычисление несобственного интеграла Пуассона методами интегрального исчисления функций одной
переменной, разные подходы к вычислению объема шара в многомерном пространстве, различные, в основном малоизвестные доказательства расходимости гармонического ряда, вычисление сумм рядов Дирихле с помощью бесконечного произведения. <...> Этот материал может быть полезен для преподавателей и хорошо успевающих студентов, факультативной работы, подготовки к олимпиадам по математике и т. п. <...> Ключевые слова: интеграл Пуассона, объем n-мерного шара, гармонический ряд, ряды Дирихле. <...> Вычисление интеграла Пуассона без использования двойных интегралов. <...> (1)
является одним из самых известных в курсе анализа примеров вычисления «неберущегося» несобственного или определенного интеграла. <...> Очень простой и эффективный способ его вычисления с по
мощью двойного интеграла по всей плоскости
e
x2 y 2
dxdy I 2 <...> Выход с прямой на плоскость при решении сугубо
одномерной по формулировке задачи, с одной стороны, дает пример
того, как более общая теория позволяет очень просто решить задачу,
кажущуюся неприступной в рамках теории более частной. <...> С другой
стороны, создается впечатление, что вычисление интеграла Пуассона
в принципе может иметь только двумерный характер. <...> Это впечатление
усиливается после ознакомления с менее известными способами вычисления интеграла Пуассона, которые, по сути, также имеют двумерный
характер. <...> Например, вычисляя двойной интеграл по всей плос
кости
xe
x 2 (1 y 2 )
dxdy двумя способами (меняя порядок инте- <...> Еще одну возможность дает ис
, однако и ее
пользование формулы дополнения (a)(1 a)
sin <...>