УДК 517.538.5+517.547.54
Об аппроксимативных свойствах некоторых модулей
полианалитического типа
c К.Ю. Федоровский <...> Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В работе изучаются задачи аппроксимации функций полианалитическими многочленами вида 𝑝0 (𝑧) + 𝑧 𝑘1 𝑝1 (𝑧) + . . . + 𝑧 𝑘𝑛 𝑝𝑛 (𝑧), где 𝑝0 , . . . , 𝑝𝑛 — многочлены
комплексного переменного, а 1 6 𝑘1 < 𝑘2 < · · · < 𝑘𝑛 — целые числа, в норме
пространств 𝐿𝑝 на границах плоских односвязных областей. <...> Полученные условия
приближаемости формулируются в терминах аналитических свойств областей,
на которых рассматривается аппроксимация. <...> В 1970–80-х годах активно изучался вопрос о плотности
в пространстве 𝐶(𝑋), состоящем из всех непрерывных на компакте
𝑋 ⊂ C комплекснозначных функций с равномерной нормой, модулей
вида
ℛ(𝑋) + z𝑘1 ℛ(𝑋) + . . . + z𝑘𝑛 ℛ(𝑋),
где ℛ(𝑋) — пространство всех рациональных функций комплексного переменного 𝑧, полюсы которых лежат вне компакта 𝑋; z(𝑧) = 𝑧, <...> Эти модули естественно назвать рациональными модулями полианалитического типа. <...> Начиная со второй половины 1980-х годов большой интерес вызывает также задача плотности в пространстве 𝐶(𝑋) полиномиальных
модулей вида
𝒫 + z𝑘1 𝒫 + . . . + z𝑘𝑛 𝒫,
где 𝒫 — пространство всех многочленов комплексного переменного, и ее наиболее известный частный случай, в котором 𝑘𝑗 = 𝑗 при
𝑗 = 1, . . . , 𝑛 (задача о равномерной приближаемости функций полианалитическими многочленами). <...> История изучения этой задачи, полученные в ней результаты и характер возникающих условий приближаемости подробно описаны в работе [1]. <...> В настоящей статье рассмотрена другая задача похожей природы. <...> Всюду в дальнейшем пространство 𝐿𝑝 = 𝐿𝑝 (T) —
стандартное пространство Лебега на единичной окружности
T = {𝑧 ∈ C : |𝑧| = 1},
1 <...> К.Ю. Федоровский
рассматриваемое относительно нормированной меры Лебега ℓ на T. <...> Как обычно, пространство 𝐻 𝑝 (D), где D = {𝑧 ∈ C : |𝑧| < 1} —
единичный круг в C, — классическое пространство Харди в круге D. <...> Напомним, что пространство <...>