Ф е д о р о в с к и й
ОБЛАСТИ И КОМПАКТЫ КАРАТЕОДОРИ
В ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ
АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
Изучены понятия областей и компактов Каратеодори, естественно возникающие в различных задачах теории приближений. <...> В настоящей работе изучаются понятия областей и компактов Каратеодори, естественно возникающие во многих задачах теории приближений. <...> Для обозначения этих объектов мы будем использовать общий
термин множества Каратеодори. <...> Множества Каратеодори уже более
100 лет активно изучаются и используются в комплексном анализе
и теории приближений. <...> Еще один результат (теорема 3) анонсируется и
обсуждается в настоящей работе. <...> Если E — произвольное множество в C, то E — его замыкание,
∂E — его граница, а E ◦ — совокупность всех внутренних точек множества E. <...> Если f — определенная на E комплекснозначная функция,
то kf kE = supz∈E |f (z)|, причем, при E = C индекс E опускается. <...> Скажем, что ограниченное множество E ⊂ C не разделяет плоскость,
если множество C \ E связно. <...> Обозначим символом D единичный круг
{z ∈ C : |z| < 1}, а символом T — единичную окружность. <...> Пусть X — компактное подмножество комплексной плоскости C, а
b — это объединение X и всех ограниченных (связных) компонент
X
множества C \ X. <...> В случае, когда U — ограниченное открытое
b , а U ∗ := U <...> Кроме того, для ограниb := U
множество в C положим U
ченной области Ω в C обозначим через Ω∞ неограниченную (связную)
компоненту множества C \ Ω.
b = {z ∈ C : |p(z)| ≤ kpkX для любого многочлена p
Так как X
b часто называют полинокомплексного переменного}, то множество X
миально выпуклой оболочкой компакта X. <...> Легко видеть, что свойство
b (которое естественно назвать свойством полиномиальной выX =X
пуклости компакта X) эквивалентно тому, что множество C\X связно. <...> Ограниченная область Ω в C называется областью
Каратеодори, если ∂Ω = ∂Ω∞ . <...> Компакт X ⊂ C называется компакb
том Каратеодори, если ∂X = ∂ X. <...> Каратеодори опубликовал серию
из трех фундаментальных работ [1–3] о свойствах конформных отображений. <...> В этих работах <...>