М. В. Козлов, В. Н. Щенников
ОДИН ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ
РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. <...> Предлагается один подход к исследованию на устойчивость нулевого решения сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. <...> Как и в большинстве работ, посвященных этой тематике, отправной точкой служит исследование соответствующей вырожденной системы. <...> Найдены
достаточные условия устойчивости нулевого решения при всех достаточно
малых положительных значениях параметра. <...> Ключевые слова: сингулярно возмущенная система дифференциальных
уравнений, вырожденная система, устойчивость, устойчивость по части переменных. <...> Введение
Как известно, теория устойчивости относительно фазовых переменных
является обобщением теории обычной устойчивости по Ляпунову. <...> Обзор
накопленных сведений об устойчивости по части переменных содержится
в работах [1–3]. <...> Приведем необходимые здесь определения и теоремы из монографии [1]. <...> Пусть дана система дифференциальных уравнений
x X t , x, y , <...> Рассмотрим вопрос об устойчивости нулевого решения относительно
фазовых координат вектора y . <...> Нулевое решение системы (1) называется асимптотически y -устойчивым, если оно y -устойчиво, и для любого t0 0 существует
49
Известия высших учебных заведений. <...> Для исследования устойчивости по части переменных мы будем применять описанный в той же работе [1] метод функций Ляпунова, которые
должны удовлетворять определенным условиям. <...> Функция Ляпунова V t , x, y называется y -определенно положительной, если существует такая определенно положительная
функция y , что V t , x, y y . <...> Если для системы (1) можно найти y -определенно положительную функцию Ляпунова V t , x, y такую, что V t ,0,0 0 и ее полная
производная на решениях системы (1) неположительна ( y -определенно отрицательна), то нулевое решение системы (1) y -устойчиво (асимптотически). <...> Предполагается, что отображения <...>