И. В. Бойков, Б. М. Стасюк, Д. В. Тарасов
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С ФИКСИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
Построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку
алгоритмы вычисления гиперсингулярных интегралов с фиксированными особенностями в предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования. <...> Введение
Несмотря на многочисленные приложения гиперсингулярных интегралов в аэродинамике [1–4], электродинамике [4], квантовой теории [5] и других областях физики и техники, их исследование и развитие приближенных
методов их вычисления началось только в последнее двадцатилетие. <...> Изложение приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов и достаточно подробная библиография содержатся в [6–8]. <...> При этом гиперсингулярные интегралы с интегралами в смысле главного значения Коши–Адамара рассматривались, как правило, в предположении,
что особая точка лежит внутри области интегрирования. <...> Однако многочисленные приложения в механике (см., например [9] и
литературу, приведенную в ней), электродинамике, геофизике [10], требуют
разработки приближенных методов вычисления гиперсингулярных интегралов с особенностью на границе области. <...> В данной работе построены оптимальные по порядку квадратурные
формулы в предположении, что особые точки лежат на границе области интегрирования. <...> 1 Классы функции
В этом разделе описываются классы функций, которые используются в
работе. <...> Класс W r (1) ( r – натуральное число) состоит из функций, заданных на
отрезке [a, b] , непрерывных и имеющих непрерывные производные до
( r − 1 )-го порядка включительно и кусочно-непрерывную производную r -го
r
порядка, удовлетворяющую на этом отрезке неравенству f ( ) ( x ) ≤ 1 . <...> Поволжский регион
f(
1)
частные
производные
i = 1, 2, ..., l непрерывны, <...> Через Clr (1, Ω ) обозначим класс
функций l независимых переменных, у которых существуют и ограничены
по модулю единицей все частные производные до r -го порядка <...>