А. Ю. Богданов
РАЗВИТИЕ МЕТОДА ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА–РАЗУМИХИНА
ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ*
В статье рассматриваются вопросы, связанные с исследованием устойчивости решений неавтономных дискретных систем с неограниченным (бесконечным) запаздыванием. <...> Благодаря использованию понятий допустимого фазового
пространства дискретной системы с бесконечным запаздыванием, топологической динамики неавтономной системы изучается свойство инвариантности положительного предельного множества решения. <...> Получены теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения на основе развития метода функций
Ляпунова–Разумихина и метода предельных уравнений. <...> При этом
приходится обращаться к системам с неограниченным (бесконечным, нефиксированным) запаздыванием (последействием), представителями которых, в
частности, являются дискретные системы Вольтерра. <...> Имеет место принципиальное отличие дискретного уравнения Вольтерра (или общего уравнения с бесконечным запаздыванием) от дискретного
уравнения с фиксированным конечным запаздыванием. <...> Последнее всегда
может быть сведено к системе одношаговых дискретных процессов фиксированной размерности, что позволяет сформулировать общие теоремы в терминах существования функций Ляпунова и получить конкретные условия устойчивости. <...> Невозможность такой редукции для дискретных уравнений
Вольтерра приводит к формулировкам общих теорем об устойчивости (подобным соответствующим результатам для непрерывных систем с бесконечным запаздыванием) в терминах существования подходящих функционалов,
определенных на решениях рассматриваемых уравнений и зависящих от всей
предыстории (подход Н. Н. Красовского (1956)) или функции вспомогательного функционала (подход Б. С. Разумихина (1956)). <...> В настоящей работе подход Б. С. Разумихина [2] развит для неавтономных дискретных систем с неограниченным запаздыванием и осуществлен
синтез этого <...>