Артёмова Электродинамика и электромагнитные волны Часть 1 Задачник Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по специальностям Радиотехника, Радиофизика и электроника и направлениям Телекоммуникации, Радиофизика Ярославль 2009 УДК 537.86 ББК В 336я73 Т 41 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного издания. <...> В них собран материал, включающий упражнения с векторами электромагнитного поля, приведены задачи на структуру и параметры поляризации плоских электромагнитных волн при их распространении в однородных изотропных средах, а также при взаимодействии электромагнитного излучения с плоской границей раздела различных сред. <...> Предназначен для студентов, обучающихся по специальностям 010801 Радиофизика и электроника, 210302 Радиотехника, направлениям 210400 Телекоммуникации и 010800.62 Радиофизика (дисциплины «Физика волновых процессов», «Электромагнитные поля и волны», «Электродинамика и распространение радиоволн», «Электродинамика СВЧ», блок ЕН, ОПД, ДС), очной и заочной форм обучения. <...> Формулировка электродинамических задач Для описания физических полей принято использовать их математические модели – скалярные и векторные поля – функции, заданные на множестве точек пространства. <...> Векторное поле А x xx скалярное поле 3 приобретает вид ( ,1x x2 x, ), принимающей численные значезадается тремя проекциями на единичные векторы (орты) выбранной системы координат. <...> Векторное поле А 3 значения для всех точек, равноотстоящих от некоторой оси). <...> Описание дифференциальных свойств векторного поля непринято характеризовать – цилиндрическая система координат () = 1 h = , h h h h y x = = = 1z , hr = 1, h = , r ; , (1.1) φ φ φ φ φ φ ρϕ θϕ ρ ρ ϕ θ φ θ ϕ φ φ скалярным полем – дивергенцией (расхождением) Adiv ным полем – ротором (вихрем, кручением) Arot . <...> Векторные поля могут быть сферическими (все векторы поля проходят через 1 точку – центр, и длина их зависит только от расстояния <...>
Электродинамика_и_электромагнитные_волны_Ч._1_задачник.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Кафедра радиофизики
В. А. Тимофеев
Т. К. Артёмова
Электродинамика
и электромагнитные волны
Часть 1
Задачник
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета для студентов,
обучающихся по специальностям Радиотехника,
Радиофизика и электроника и направлениям Телекоммуникации,
Радиофизика
Ярославль 2009
Стр.1
УДК 537.86
ББК В 336я73
Т 41
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009 года
Рецензент
кафедра радиофизики
Т 41
Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова
Тимофеев, В. А. Электродинамика и электромагнитные
волны Ч. 1: задачник / В. А. Тимофеев, Т. К. Артёмова; Яросл.
гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2009. – 38 с.
Задачник содержит краткие теоретические сведения и набор заданий
различной степени трудности, необходимые для самостоятельного
решения.
Первая часть издания состоит из четырех разделов. В них собран
материал, включающий упражнения с векторами электромагнитного
поля, приведены задачи на структуру и параметры поляризации
плоских электромагнитных волн при их распространении
в однородных изотропных средах, а также при взаимодействии
электромагнитного излучения с плоской границей раздела различных
сред.
Предназначен для студентов, обучающихся по специальностям
010801 Радиофизика и электроника, 210302 Радиотехника, направлениям
210400 Телекоммуникации и 010800.62 Радиофизика
(дисциплины «Физика волновых процессов», «Электромагнитные
поля и волны», «Электродинамика и распространение радиоволн»,
«Электродинамика СВЧ», блок ЕН, ОПД, ДС), очной и заочной
форм обучения.
УДК 537.86
ББК В 336я73
© Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2009
2
Стр.2
1. Векторы электромагнитного поля.
Формулировка электродинамических задач
Для описания физических полей принято использовать их
математические модели – скалярные и векторные поля – функции,
заданные на множестве точек пространства. В произвольной
системе координат 12 3(, , )
некоторой функции
ния – действительные или комплексные. Векторное поле А
x xx скалярное поле
3
приобретает вид
( ,1x x2 x, ), принимающей численные значезадается
тремя проекциями на единичные векторы (орты) выбранной
системы координат.
Для характеристики величины и направления скорости изменения
скалярного поля в пространстве вводят градиент этого поля
grad
где
12 3,,
∂
= ∂
h x lx1
1
1
1
∂
+ ∂
h x lx2
1
2
2
∂
+ ∂
h x lx 3
1
3
3
hh h – коэффициенты Лямэ по координатам 1x , 2x и 3x .
Приведем значения коэффициентов Лямэ для наиболее употребительных
систем координат:
– декартова система координат ()
x y z,,
, , z
hz = 1;
– сферическая система координат ()
r, ,
h rSin=
.
Среди скалярных полей выделяют центральное (функция
принимает одинаковые значения для всех точек, находящихся на
равных расстояниях от некоторого центра, как, например,
2
= c r ,
= r ) и осевое (если функция принимает одинаковые
сколько сложнее. Векторное поле А
3
значения для всех точек, равноотстоящих от некоторой оси).
Описание дифференциальных свойств векторного поля непринято
характеризовать
– цилиндрическая система координат () = 1 h = ,
h h h
h
y
x = = = 1z
,
hr = 1, h = ,
r
;
,
(1.1)
φ
φ
φ
φ
φ
φ
ρϕ
θϕ
ρ
ρ
ϕ
θ
φ
θ
ϕ
φ
φ
Стр.3
скалярным полем – дивергенцией (расхождением) Adiv
ным полем – ротором (вихрем, кручением) Arot
.
Дивергенцию векторного поля вычисляют путем дифференцирования
его проекций по определенным правилам. В произвольной
ортогональной криволинейной системе координат
divA h h h
=
1
1 2 3
∂ (h h A )+ ∂(h h A )
2 3
x1
∂x1
1 3
∂x2
x2 + ∂(h h A )
1 2
x3
∂x3
.
(1.2)
Ротор векторного поля – это вектор, определенный в любой
точке поля и являющийся его объемной производной, взятой с
обратным знаком.
В декартовой, цилиндрической и сферической системах координат:
rotA
= ∂
ex
ˆ
∂x
x
rotA e= ˆ 1 A
rotA e rSin
= ˆr
1
∂ − ∂
∂
(
A
∂z
ey
∂
ˆ
A A A z
∂y
y
+ ∂
ˆ
∂ A Sin
∂
e r
)
e A
∂
∂ − ∂
z
− ∂A
∂
+ ˆ 1 (∂ rA )
r
A ezˆ 1 ( A )
z
+
+
ˆ 1 1
e r Sin
∂
∂ − ∂
Ar
.
Векторные поля могут быть сферическими (все векторы поля
проходят через 1 точку – центр, и длина их зависит только от
расстояния от этого центра), цилиндрическими.
Среди всех интегралов полей выделим только два.
4
∂
∂
Ar
∂
− ∂
∂ − ∂
∂
A
, (1.4)
(rA )
∂r
ez
∂
ˆ
∂z
,
(1.3)
и вектор(1.5)
ρ
ρ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ρ ρ
ϕ
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
θ
θ
ϕ
ϕ
Стр.4
тому контуру С, причем С проходится против часовой стрелки, а
единичный вектор ld
C Adl .
=
C
=
Скалярный поток векторного поля – число
Q A r dS
( )
где вектор Sd
Σ
– вектор «лицевой» нормали к поверхности Σ, натянутой
на контур C. Величина его равна площади поверхности
Σ, а направление таково, что если смотреть на его конец, то обход
контура C совершается против часовой стрелки, он как бы
ввинчивается в площадку при правильном обходе C.
Векторное поле называется соленоидальным (полем без источников),
если
divA = 0
работа по замкнутому контуру равна нулю), если
, и потенциальным (если это сила, то ее
.
rotA = 0
Знание скалярных и векторных производных и интегралов
векторов поля позволяет характеризовать структуру поля, а решения
уравнений Максвелла с различными граничными и начальными
условиями позволяют определить значения векторов
поля в каждой точке пространства в любой момент времени, связать
создаваемое источниками поле с параметрами источников.
Задачи для решения
ределите Ediv
E E Sin x a exp( 10 )z , где Ey 0 и 10 – константы. Опи
охарактеризуйте это электрическое поле по типу
y =
0
.
делите Ediv
E E Siny
y =
0
волне отлична от нуля только одна компонента электрического
поля
в произвольной точке A( , , )zyx
отлична от нуля только одна компонента электрического поля
() )
1.2. В прямоугольном волноводе сечением ba Ч на волне 20H
2 x a exp(− 20z , где Ey 0 и 20 – константы. Опрепроизвольной
точке A( , , )zyx
и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в
.
5
1.1. В прямоугольном волноводе сечением ba Ч на основной
y () −
,
Циркуляция вектора – криволинейный интеграл по замкну
является касательным в каждой точке к С:
(1.6)
(1.7)
γ
γ
π
γ
π
γ
Стр.5