С. С. Кутателадзе
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ:
ИЗБРАННЫЕ ТЕМЫ
МОСКВА «НАУКА»
2008
УДК 517.11+517.98
ББК 22.16
Г
Ответственный редактор
академик Ю. Г. Решетняк
Рецензенты:
доктор физико-математических наук А. Е. Гутман,
доктор физико-математических наук Г. Г. Магарил-Ильяев
Гордон Е. И. <...> – ISBN
Инфинитезимальный анализ — один из наиболее разработанных разделов, составляющих
нестандартные методы анализа. <...> Детально изучаются приложения инфинитезимальных
методов в топологии, теории меры, оптимизации и гармоническом анализе. <...> Робинсоном часто называют запоминающимся, хотя и отчасти эпатажным, термином —
нестандартный анализ (теперь чаще говорят о классическом или робинсоновском нестандартном анализе). <...> Робинсоновский нестандартный анализ характеризуется широким использованием давно известных в практике естествознания,
но долгое время запрещенных в математике XX века концепций, связанных с
представлениями об актуальных бесконечно больших и актуальных бесконечно
малых величинах. <...> Второе направление — булевозначный анализ — характеризуется широким
использованием таких терминов, как спуски и подъемы, циклические оболочки
и миксинги, B-множества и изображения объектов в моделях. <...> Около полувека нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и
даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел. <...> Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. <...> Таким образом, традиционные взгляды на нестандартный анализ стали нуждаться, по меньшей мере,
в ревизии, потребовали переосмысления инфинитезимальных концепций. <...> Важным достоинством возникших путей стал аксиоматический подход, дающий возможность овладеть аппаратом нестандартного математического анализа без предварительного изучения техники ультрапроизведений, булевозначных
моделей или их аналогов. <...> В четвертой и пятой главах представлены инфинитезимальные методы <...>
Инфинитезимальный_анализ.pdf
Р О С С И Й С К А Я А К А Д Е М И Я Н А У К
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ
ИМ. С. Л. СОБОЛЕВА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Е. И. Гордон, А.Г.Кусраев
С. С.Кутателадзе
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ:
ИЗБРАННЫЕ ТЕМЫ
МОСКВА «НАУКА»
2008
Стр.1
УДК 517.11+517.98
ББК 22.16
Г
Ответственный редактор
академик Ю.Г. Решетняк
Рецензенты:
доктор физико-математических наук А. Е. Гутман,
доктор физико-математических наук Г.Г. Магарил-Ильяев
Гордон Е. И.
Инфинитезимальный анализ / Е.И. Гордон, А.Г. Кусраев, С.С. Кутателадзе ;
[отв. ред. Ю.Г. Решетняк] ; Ин-т прикладной математики и информатики ВНЦ
РАН. – М. : Наука, 2008. – 399 с. – ISBN
Инфинитезимальный анализ — один из наиболее разработанных разделов, составляющих
нестандартные методы анализа. В его рамках получили строгое обоснование метод неделимых
и монадология, восходящие к глубокой древности. В монографии подробно излагаются
теоретико-множественные формализмы, позволяющие использовать актуальные бесконечно
большие и бесконечно малые величины. Детально изучаются приложения инфинитезимальных
методов в топологии, теории меры, оптимизации и гармоническом анализе. Книга ориентирована
на широкий круг читателей, интересующихся современным состоянием и приложениями
классического нестандартного анализа.
ТП 2007–IV–
ISBN
Институт прикладной математики
и информатики ВНЦ РАН, 2008
c
Е.И. Гордон, А.Г. Кусраев,
С.С. Кутателадзе, 2008
Редакционно-издательское оформление.
Издательство «Наука», 2008
c
Институт математики СО РАН, 2008
c
c
Стр.2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1. Экскурс в историю математического анализа . . . . . . . . . .
5
9
1.1. Г. В.Лейбниц и И.Ньютон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Л.Эйлер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Дж.Беркли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Ж.Д’Аламбер и Л.Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Б. Больцано, О.Коши и К. Вейерштрасс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Н. Н.Лузин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7. А.Робинсон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Глава 2. Наивные основы инфинитезимальных методов . . . . . . . . . 18
2.1. Понятие множества в нестандартном анализе . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Простейшие свойства вещественных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Начальные понятия анализа на прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Глава 3. Теоретико-множественные формализмы . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1. Язык теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2. Аксиоматика Цермело–Френкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3. Теория внутренних множеств Нельсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4. Теории внешних множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5. Установки нестандартного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6. Теория фон Неймана–Г¨
еделя–Бернайса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7. Нестандартная теория классов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.8. Непротиворечивость NCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.9. Теория относительно стандартных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Глава 4. Монады в общей топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1. Монады и фильтры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2. Монады в топологических пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3. Околостандартность и компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4. Бесконечная близость в равномерных пространствах . . . . . . . . . . . 128
4.5. Предстандартность, полнота и полная ограниченность . . . . . . . . . . 132
4.6. Относительные монады . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.7. Компактность и субнепрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.8. Циклические и экстенсиональные фильтры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.9. Существенные и проидеальные точки циклических монад . . . . . . . 153
4.10. Изображения компактных и предкомпактных пространств . . . . . . 156
4.11. Проультрафильтры и экстенсиональные фильтры . . . . . . . . . . . . . 157
Стр.3