КУТАТЕЛАДЗЕ
СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ:
ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
МОСКВА «НАУКА»
2006
УДК 517.98
К 94
Ответственный редактор
академик Ю. Г. РЕШЕТНЯК
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Г. Г. МАГАРИЛ-ИЛЬЯЕВ,
доктор физико-математических наук С. А. МАЛЮГИН
Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. <...> Книга предназначена для математиков, интересующихся современным аппаратом негладкого анализа и его приложениями.
c Российская академия наук, 2006
c Издательство «Наука»
(художественное оформление), 2006
c Институт прикладной математики
и информатики ВНЦ РАН, 2006
c Институт математики СО РАН, 2006
c А. Г. Кусраев, 2006
c С. С. Кутателадзе, 2006
Оглавление
Предисловие . <...> Стоит отметить, что от приведенного критерия Ферма мало прока, если нет
достаточно эффективных средств вычисления субдифференциала ∂f (¯
x). <...> Выпуклые соответствия и операторы
санию техники построения выпуклых операторов, соответствий и множеств из
уже имеющихся. <...> Выпуклые множества
Текущий параграф посвящен основным алгебраическим понятиям и конструкциям, связанным с выпуклостью в вещественных векторных пространствах. <...> Для выпуклого множества C существует также наибольшее симметричное выпуклое множество sk(C), содержащееся
в C, а именно, sk(C) := C ∩ (−C) (ср. <...> (1) Пересечение любого семейства выпуклых множеств есть выпуклое
множество (см. <...> (2) Декартово произведение любого семейства выпуклых множеств вновь
выпуклое множество (см. <...> Выпуклые соответствия
Текущий параграф посвящен удобному языку соответствий, который будет
сопосистематически использован в дальнейшем. <...> Выпуклые операторы
В текущем параграфе мы рассмотрим основные приемы построения выпуклых операторов при помощи элементарных алгебраических и решеточных операций. <...> Выпуклые операторы будут всегда принимать свои значения из некоторого упорядоченного векторного пространства E, к которому присоединены
два несобственных элемента +∞ := ∞ и −∞. <...> Пусть X — векторное пространство, E — некоторое K-пространство <...>
Субдифференциальное_исчисление_теория_и_приложения.pdf
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЛАДИКАВКАЗСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ
ИМ. С. Л. СОБОЛЕВА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
А. Г. КУСРАЕВ
C. C. КУТАТЕЛАДЗЕ
СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ:
ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ
МОСКВА «НАУКА»
2006
Стр.1
УДК 517.98
К94
Ответственный редактор
академик Ю.Г. РЕШЕТНЯК
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Г.Г. МАГАРИЛ-ИЛЬЯЕВ,
доктор физико-математических наук С. А. МАЛЮГИН
Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С.
Субдифференциальное исчисление: Теория и приложения.—М.: Наука, 2006.—
560 с.
В монографии изложены основные результаты нового раздела функционального анализа
— субдифференциального исчисления. Широко представлен современный инструментарий
этой области: техника пространств Канторовича, методы булевозначного и инфинитезимального
анализа. Наряду с аналитическими вопросами большое место уделено технике вывода критериев
оптимальности для выпуклых экстремальных задач, включая важные для приложений
вопросы характеризации приближений к оптимальным решениям и значениям.
Впервые книга вышла в 1992 г. в Сибирском отделении издательства «Наука». В 1995 г. издательство
Kluwer Academic Publishers выпустило в свет расширенный перевод книги, который
и стал основой для настоящего издания.
Книга предназначена для математиков, интересующихся современным аппаратом негладкого
анализа и его приложениями.
Российская академия наук, 2006
c
c
Издательство «Наука»
(художественное оформление), 2006
Институт прикладной математики
и информатики ВНЦ РАН, 2006
Институт математики СО РАН, 2006
c
c
c
А.Г. Кусраев, 2006
c
С. С. Кутателадзе, 2006
Стр.2
Оглавление
Предисловие ............................................. 5
Глава 1. Выпуклые соответствия и операторы ................. 9
1.1. Выпуклыемножества ................................... 10
1.2. Выпуклые соответствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Выпуклые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4. Вееры и линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5. Системы выпуклых объектов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.6. Решеточно нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.7. Комментарии ......................................... 74
Глава 2. Геометрия субдифференциалов ...................... 80
2.1. Метод канонического оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2. Экстремальная структура субдифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.3. Субдифференциалы операторов, действующих в модулях . . . . . . . . 106
2.4. Внутреннее строение субдифференциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.5.Шапки играни ....................................... 130
2.6. Субдифференциалы, порождаемые суммами
решеточных гомоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.7. Комментарии ......................................... 152
Глава 3. Выпуклость и открытость .......................... 158
3.1. Открытость выпуклых соответствий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.2. Методобщего положения ................................ 170
3.3. Исчисление поляр . .................................... 183
3.4. Двойственная характеризация открытости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.5. Открытость иполнота .................................. 204
3.6. Решета, совершенные ткани и принцип открытости . . . . . . . . . . . . 213
3.7. Комментарии ......................................... 224
Глава 4. Аппарат субдифференциального исчисления .......... 229
4.1. ПреобразованиеЮнга —Фенхеля ......................... 230
4.2. Формулы субдифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.3. Инволютивность преобразования Юнга — Фенхеля . . . . . . . . . . . . 253
4.4. Операторы Магарам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.5. Дезинтегрирование .................................... 272
4.6. Инфинитезимальные субдифференциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.7. Комментарии ......................................... 296
Стр.3