Вестник ДГТУ, 2005. Т.5. №4(26)
МАТЕМАТИКА
УДК 517.983
А. В. БРАТИЩЕВ, А. В. МОРЖАКОВ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРА ОБОБЩЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ОДНОМ КЛАССЕ
ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
ISBN 5-7890-0344-3
Введение. Пусть G - односвязная область комплексной плоскости C и
{ }n
странство голоморфных в G функций с топологией равномерной сходимости
на компактах. Оператором обобщенного дифференцирования (ООД) в
смысле Гельфонда - Леонтьева в
в H( )G оператор D со свойством D d z
такой оператор существует, то в силу полноты { }z в H( )G он единствеn
z
= n−1
n
нен. В монографии [1] представление ООД получено в случае круга
(0, )
:=
множеств ,A B ⊂ C множество M A B z= ∈ ⋅ ⊂
случае A B= мультипликатор M A M A A
( , ) : {
( ) :=
ство AB z z z A z B}. A z C:
− 1
: {= ∈ ∈
1 2 1
:
′ = C . Множество A называется звездным (относительно начала
координат), если ∀z A∈ отрезок [0, ]z A⊆ .
0 < − ≤ 2 ,
:
A A\ .
Нам понадобится ряд вспомогательных утверждений.
ЛЕММА 1. Пусть G - односвязная область в C. Тогда:
1)
M( ) =G
(0,1 ]
звездное множество, G не совпадает с углом вида
481
(
тогда и только тогда, когда 0 G∉ , G∪{0 }–
);
, ˆ
,
2
:= ∈ ∈
обозначим угол (
z A . Для чисел , ∈R ,
, ˆ :) {z= ∈C \{0}: arg z
1
< <
}.
G D R с центром в нуле и радиуса R . Предложенное выше определение
в этом случае совпадает с определением из [1], но позволяет рассматривать
и случай областей G , не содержащих начало координат.
Основные результаты. Назовём, следуя [2], мультипликатором пары
C : z A B}. В частном
( , ) назовем мультипликатором
множества A [3].
Под произведением двух множеств ,AB⊆C будем понимать множеd
- последовательность комплексных чисел. Обозначим H( )G проH(
)G назовём линейный непрерывный
n−1 , n∈N , D1 0= . Если
П и а ч р
б ю е
л
у еч л
н л
о лф К и
д
αβ
αβ
π
β
α
о я Г и G до л о нл а с в
е ьн ф
о и д с а я
т в цы ие о
н
е
г
н я в и
р
с е е
ф
н
т а - Л а у н
р
л : ,
а е я л а
ч м а
л о G и тт иь л
у
е п в с к си е
ь нн то е е л ч
е
д
ь н п и
о а к
д т о
е о е
р р
р а в пт о а г р
с р ж , п
л р й м л
а с щ л до о
е ан н 0 о ж
в т е о о
и се о в
т
е
п е гр оа лт оо мр оа о ф
р
б
о н
б ы
щх ф
е
р нф ин еа .
я
е
ф
у
н
н ун но кг цо д й в оф де нр ое сн вц яи зр н
ф
о о
в й
а
и
-
и
к
ц
и
я
,
о
п
е
р
а
т
о
р
о
б
о
б
щ
е
н
н
о
г
о
αβ
α
β
Стр.1
Раздел «Математика»
(из которых хотя бы один конечен и хотя бы один не начинается в нуле)
или по пустому множеству. Тогда
([2],теорема 1). Так как ∀z G∈
(
, ˆ
))= +∞).
(0,
∪
Тогда по теореме 2 [2]
(
Пусть x >1 ,
2), то { }⊂
, ˆ
x M G
k
Доказательство. 1) Необходимость. G∉0 , так как 0∈G 0 ( )M G⇔ ∈
z ⊂ ∪ , то {0}∪ G
[0, z] {0} (0,1] {0} G
= ∪
есть звездное множество. G ≠ , ˆ
реме 3 [2] M( (
=
) , так как в противном случае по теоДостаточность.
Так как G∪{0 } звёздное, то [0,1]⊂ GM ( ∪{0}).
)
(0,1]⊂ M G {0} \{0} M G∪{0} \{0})=M G( ).
((
( ) . Отсюда (0, )∞ = U (0,1]x M G( ) . В этом случае
k 1
∞
=
⊆
(1,+∞)IM G( ) =∅ .
)
x M( ).G∈ Так как M( )G является моноидом ([2], теорема
k
G необходимо ([2],теорема3) должно совпадать с C \{0} или с
(
0∉M G так как 0 G∉ .
случае ∀
∃ = ∈
интервалами
) , что невозможно по условию. Поэтому
( ),
ла, что существует луч (0,+ e∞ не пересекающийся с G . В противном
z r Gei
Осталось показать, что M G ∩ +∞ =∅. Покажем сначаi
(
)
),
∃ > 0 : “сектор”
раствор, равный
[0,2 ]
UN
k
(0,1] ⋅D zk( ,
2arcsin r
(0,1]⋅D z ⊂)
(
−arcsin
r
=1
кольцо. Это значит, что точки ∞,0 принадлежат разным связным компонентам
дополнения к .G Получили противоречие с односвязностью .G
Пусть
z0 = 0r e M G( ) \ [0,1 ] . Если
i
множества
(0,+∞ − 0 ∩ =∅ . В противном случае для точки 1z из последнего
i
ei (
)
z z1 G∈ ,
) G
0
объединение лучей
∞
n 0
=
U (0,+∞e
−
z z1∈ ∞ что невозможно. В целом счетное
0
i( arg )
z0
n
)
(0,
e
∩ = +∞e
n 0
G U 0,
=
∞
),
i −
2
1 arg 2
n
z0
IG =∅,
0 ∈
(0,+∞e Gi
)∩ =∅ ,
,
+arcsin
r
,
G и имеет
. Выделим из открытого покрытия отрезка
Тогда соответствующее конечное объединение секторов
k ) , которое G⊂ и содержит внутри себя некоторое
(C \ [0, ))
2) пусть каждый луч с началом в нуле пересекает G по интервалу
M( ) { }.1=G
конечное подпокрытие.
то и
482
αβ
ε
αβ
ϕ
ε
ϕ
αβ
ϕ
π
ε
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ϕ
π
ε ϕ
ε
ϕ
π
ϕϕ
ϕ
Стр.2