В.К. Андреев,
Н.Л. Собачкина
ДВИЖЕНИЕ БИНАРНОЙ СМЕСИ
В ПЛОСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБЛАСТЯХ
Монография
Институт математики
В.К. Андреев,
Стр.1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
Российская академия наук
Сибирское отделение
Институт вычислительного моделирования
В. К. Андреев, Н. Л. Собачкина
ДВИЖЕНИЕ БИНАРНОЙ СМЕСИ
В ПЛОСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБЛАСТЯХ
Монография
Красноярск
СФУ
2012
Стр.2
УДК 536.2:532/533
ББК 22.365.5
А65
Р е ц е н з е н т ы:
доктор физико-математических наук, профессор В.М.Белолипецкий
доктор физико-математических наук, профессор С. В. Хабиров
Андреев, В. К.
А 65
Движение бинарной смеси в плоских и цилиндрических областях: монография
/ В. К. Андреев, Н. Л. Собачкина. Красноярск: Сиб. федер.
ун-т, 2012. 188 с.
ISBN 978-5-7638-2372-1
В монографии представлены результаты исследований конкретных нестационарных
движений бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии, возникающих
в достаточно длинных плоских и цилиндрических слоях. Рассмотрены
свойства инвариантных решений уравнений термодиффузии, когда на границе
раздела двух смесей поверхностное натяжение линейно зависит от температуры
и концентрации. Для возникающих сопряженных начально-краевых задач получены
априорные оценки всех полей, показывающие их экспоненциальную сходимость
с ростом времени к стационарным значениям. Приведены результаты
численных расчетов поведения скоростей, температур и концентраций в слоях.
Дано обобщение решений Остроумова–Бириха на движение смесей в цилиндрической
трубе.
Результаты монографии будут полезны научным работникам, преподавателям,
студентам старших курсов, магистрантам и аспирантам вузов, занимающимся
конвективными течениями.
УДК 536.2:532/533
ББК 22.365.5
ISBN 978-5-7638-2372-1
В. К. Андреев,
Н. Л. Собачкина, 2012
c
Сибирский
федеральный
c
университет, 2012
Стр.3
Оглавление
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1
Однонаправленные двухслойные движения смесей
в плоских и цилиндрических слоях. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1. Постановка задачи о движении двух бинарных
смесей с поверхностью раздела . . . . . . . . . .
1.2. Совместное однонаправленное движение бинарных
смесей в плоских слоях при заданном перепаде
давления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Движение смесей под действием термоконцентрационных
сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Совместное однонаправленное движение вязкой
теплопроводной жидкости и бинарной смеси
в трубе под действием перепада давления . . . .
12
20
47
68
1.5. Термоконцентрационное движение вязкой теплопроводной
жидкости и бинарной смеси в трубе . 103
Глава 2
Влияние эффекта Соре на движение смесей со свободной
границей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1. Движение плоского слоя жидкости с двумя свободными
границами под действием эффекта Соре 117
2.2. Движение плоского слоя жидкости со свободной
границей и твердой стенкой . . . . . . . . . . . . 134
2.3. Движение бинарной смеси с цилиндрической свободной
границей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Глава 3
Движение бинарной смеси в горизонтальной цилиндрической
трубе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.1. Основные уравнения и граничные условия . . . . 158
3.2. Стационарные ползущие движения . . . . . . . . 162
Стр.4
4
Оглавление
3.3. Нестационарные ползущие движения . . . . . . . 164
3.4. Решение стационарной задачи в первом приближении
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Стр.5
Введение
Среди множества моделей, используемых в механике жидких
сред, можно выделить так называемые классические модели,
к которым относятся уравнения газовой динамики, Эйлера идеальной
жидкости, Навье –Стокса вязкой жидкости, Обербека–
Буссинеска конвективных течений. В последнее время в связи
с появлением новых задач, развитием математического аппарата
и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим
моделям гидродинамики. В качестве примера можно
привести модели вязкого теплопроводного газа [1], микроконвекции
[2], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии
и диффузионной теплопроводности [3, 4]. Такие усложненные
модели с большей точностью (по сравнению с классическими)
описывают реальные физические процессы и активно
используются в вычислительной гидродинамике. В связи
с этим является актуальной задача качественного исследования
уравнений подмоделей усложненных сред. В частности,
точные решения всегда играли и продолжают играть огромную
роль в формировании правильного понимания качественных
особенностей многих явлений и процессов в различных областях
естествознания. Эти решения часто используют в качестве
“тестовых задач” для проверки корректности и оценки точности
различных асимптотических, приближенных и численных
методов.
Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного
газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена
монография [5]. Отметим также монографию [6], в которой наряду
с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного
движения, пограничного слоя Марангони, а также
уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими
от температуры.
Стр.6
6
Введение
В данной книге рассматриваются конкретные подмодели
движения бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии.
Эти подмодели возникают при движении смесей в достаточно
длинных плоских или цилиндрических слоях. По классификации
группового анализа они являются инвариантными или
частично инвариантными решениями общих уравнений термодиффузии.
Соответствующие системы уравнений хотя и содержат
меньшее число зависимых и независимых переменных, однако
начально-краевые задачи для них являются очень трудными
для исследования.
Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества,
связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой
смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация
компонентов в областях повышенной и пониженной
температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит
к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное
состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии
и термодиффузии уравновешивают друг друга (т. е. процесс
перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом
их разделения). На практике часто встречается нормальная
термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся
перейти в более холодные области, а легкие компоненты —
в более нагретые области. В отдельных случаях наблюдается
аномальная термодиффузия, когда направление движения
компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию
в растворах также называют эффектом Соре.
Термодиффузия часто встречается в природе, а также имеет
множество приложений в технике. В сочетании с тепловой
конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов
в жидких и газовых смесях [7, 8]. Термодиффузия используется
для определения состава нефти и разделения ее компонентов
[9], нанесения различных покрытий на изделия из металлов
Стр.7
Введение
7
и играет важную роль в процессе выращивания кристаллов.
Еще один пример практического применения рассматриваемого
эффекта дает тепловой насос [10]. Термодиффузия также
влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды
подвергаются различным режимам нагрева [11, 12]. Роль эффекта
Соре важна и при переносе вещества через клеточные
мембраны [13].
Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет
система уравнений Навье –Стокса, дополненная уравнениями
тепло- и массопереноса (вывод уравнений см., например,
в работах [14, 15]). Часто используется приближение Обербека
–Буссинеска, предназначенное для описания конвективных
течений в естественных земных условиях. Предполагается, что
плотность смеси линейно зависит от температуры и концентрации
легкого компонента:
ρ = ρ0(1−β1T −β2C).
(0.1)
Здесь ρ0 — плотность смеси при средних значениях температуры
и концентрации, а через T и C обозначены малые отклонения
от средних значений; β1 — коэффициент теплового расширения
смеси; β2 — концентрационный коэффициент плотности
(β2 > 0, поскольку C — концентрация легкого компонента).
Движение смеси описывается системой уравнений [3, 4]
ut + (u ·∇)u = −
ρ0∇p + ν∇2u + g(β1T + β2C),
1
Tt + u ·∇T = χ∇2T,
Ct + u ·∇C = D∇2C + αD∇2T,
∇· u = 0,
где u — вектор скорости; p — отклонение давления от гидростатического;
ν — коэффициент кинематической вязкости; g —
(0.2)
Стр.8
8
Введение
вектор ускорения свободного падения; χ — коэффициент температуропроводности;
D — коэффициент диффузии; α — параметр
термодиффузии. Все характеристики среды предполагаются
постоянными и соответствуют средним значениям температуры
и концентрации. Параметр термодиффузии имеет вид
α = −DT/T0D, где DT — коэффициент термодиффузии; T0 —
средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют
значения α<0, а для аномальной термодиффузии α>0.
При выводе системы (0.2) предполагается [16], что диффузионный
поток компонента смеси равен
i = −ρ0(D∇C +DT∇T).
В чистой жидкости эффекта Соре нет, поэтому коэффициент
DT должен обращаться в ноль при C = 0 и C = 1. Поскольку
для малых отклонений температур и концентраций от равновесных
значений T0 и C0 все коэффициенты переноса можно
считать постоянными, то часто используется соотношение
DT = C0(1 − C0)DT , причем DT также называется коэффициентом
термодиффузии [16].
В частном случае (C = 0, α = 0) система (0.2) переходит
в систему уравнений свободной конвекции однородной жидкости
(модель Обербека –Буссинеска). Для данной модели известно
достаточно много точных решений, значительная часть которых
приведена в монографиях [3, 17]; они являются стационарными,
т. е. не зависят от времени. Эти работы посвящены
исследованию устойчивости различных типов конвективных течений,
а также механического равновесия. Групповые свойства
уравнений свободной конвекции в плоском случае изучались
в статье [18], а для стационарных плоских течений — в более
ранней работе [19] (см. также монографию [5]). В указанных
работах построен ряд точных решений, часть из которых была
найдена ранее другими методами.
Стр.9