П.Г. Демидова
Кафедра динамики электронных систем
МЕДИАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Методические указания
Ярославль 2006
Медианная фильтрация: Метод. указания / Сост. <...> Описаны основные методы медианной фильтрации цифровых
изображений. <...> Методические указания предназначены для
студентов специальности 010801 Радиофизика и электроника
физического факультета ЯрГУ, изучающих дисциплину
специализации «Цифровая обработка изображений». <...> © Ярославский государственный университет, 2006
© А.Л. Приоров, В.В. Хрящев
2
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие технологии производства интегральных
схем и расширение возможностей современных компьютеров
позволяют реализовать на практике все более сложные методы
цифровой обработки сигналов и изображений. <...> До
последнего времени в цифровой
обработке сигналов в основном использовались методы линейной
фильтрации, что связано с наличием подходящего математического
аппарата, простотой интерпретации и расчета линейных фильтров. <...> В то же время использование методов линейной фильтрации не
позволяет получить приемлемое решение в ряде практически важных
приложений. <...> Известно,
например,
что
задача
оптимальной
фильтрации допускает решение в классе линейных фильтров только в
том случае, когда сигнал и аддитивная помеха независимы и имеют
нормальное распределение. <...> В действительности помеха может
зависеть от полезного сигнала, иметь мультипликативный характер
или закон распределения, отличный от нормального, например,
представлять собой импульсный шум. <...> В этих случаях оптимальным
решением будет являться нелинейный фильтр. <...> С целью расширения спектра задач, решаемых средствами
3
цифровой
обработки
сигналов,
и
преодоления
ограничений,
присущих методам линейной фильтрации, в настоящее время активно
внедряются методы нелинейной фильтрации. <...> Наиболее известными
классами нелинейных фильтров являются:
─ гомоморфные фильтры;
─ морфологические фильтры;
─ фильтры, основанные на порядковых <...>
Медианная_фильтрация__Методические_указания.pdf
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра динамики электронных систем
МЕДИАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Методические указания
Ярославль 2006
Стр.1
Медианная фильтрация: Метод. указания / Сост. А.Л. Приоров,
В.В. Хрящев; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2006. 53 с.
Описаны основные методы медианной фильтрации цифровых
изображений. Методические указания предназначены для
студентов специальности 010801 Радиофизика и электроника
физического факультета ЯрГУ, изучающих дисциплину
специализации «Цифровая обработка изображений». Могут
использоваться студентами, обучающимися по специальности
210302 Радиотехника,
а также направлению 550440
Телекоммуникации. Материал может быть использован при
подготовке студентами курсовых и дипломных проектов.
Рецензент: кафедра радиофизики Ярославского
государственного университета им. П.Г. Демидова.
© Ярославский государственный университет, 2006
© А.Л. Приоров, В.В. Хрящев
2
Стр.2
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие технологии производства интегральных
схем и расширение возможностей современных компьютеров
позволяют реализовать на практике все более сложные методы
цифровой обработки сигналов и изображений. С появлением
современных цифровых сигнальных процессоров стало реальностью
практическое воплощение алгоритмов, представлявших ранее лишь
теоретический интерес. До последнего времени в цифровой
обработке сигналов в основном использовались методы линейной
фильтрации, что связано с наличием подходящего математического
аппарата, простотой интерпретации и расчета линейных фильтров.
Эти методы стали уже классическими и активно используются в
системах связи, радио- и гидролокации, для анализа и синтеза речи, в
системах обработки изображений, компьютерной томографии и др.
В то же время использование методов линейной фильтрации не
позволяет получить приемлемое решение в ряде практически важных
приложений. Известно, например, что задача оптимальной
фильтрации допускает решение в классе линейных фильтров только в
том случае, когда сигнал и аддитивная помеха независимы и имеют
нормальное распределение. В действительности помеха может
зависеть от полезного сигнала, иметь мультипликативный характер
или закон распределения, отличный от нормального, например,
представлять собой импульсный шум. В этих случаях оптимальным
решением будет являться нелинейный фильтр.
С целью расширения спектра задач, решаемых средствами
3
Стр.3
цифровой обработки сигналов, и преодоления ограничений,
присущих методам линейной фильтрации, в настоящее время активно
внедряются методы нелинейной фильтрации. Наиболее известными
классами нелинейных фильтров являются:
─ гомоморфные фильтры;
─ морфологические фильтры;
─ фильтры, основанные на порядковых статистиках, и их
разновидности: L-, R-, M-фильтры, медианные фильтры;
─ расширенные фильтры Калмана;
─ нейронные фильтры и сети;
─ полиномиальные фильтры.
Данная
классификация,
не
претендуя
на
полноту,
демонстрирует лишь многообразие видов нелинейной фильтрации. В
отличии от теории линейной фильтрации построение единой теории
нелинейной фильтрации вряд ли возможно. Каждый из
перечисленных классов имеет свои преимущества и область
применения. Например, фильтрация Калмана, гомоморфная
фильтрация, имеют достаточно долгую историю. Другие направления
появились совсем недавно и активно разрабатываются в настоящее
время. К таким новым направлениям относится цифровая фильтрация
на основе ранговой статистики. Самым известным представителем
данного класса нелинейных фильтров являются медианные фильтры,
которые и рассматриваются в данной работе. Ниже приводятся
определения одномерного и двумерного медианных фильтров, их
статистические характеристики, а также описания самых известных
модификаций медианных фильтров.
4
Стр.4
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ
1.1. Одномерный медианный фильтр
Медианная фильтрация была предложена Дж. Тьюки в 1971 г.
для анализа экономических процессов, а в дальнейшем получила
широкое применение при обработке изображений и речевых
сигналов. Она осуществляется посредством движения некоторой
апертуры (маски) вдоль последовательности дискретных отсчетов и
замены значения в центре апертуры медианой исходных отсчетов
внутри апертуры.
Медианой последовательности x1, ... , x n , где n - нечетное,
является средний по значению член ряда, получающегося при
упорядочивании последовательности по возрастанию. Для четного n
определим медиану как среднее арифметическое двух средних
членов. В литературе можно найти другие определения, но поскольку
они мало отличаются друг от друга и n в большинстве
интересующих нас случаев нечетное, мы не будем возвращаться к
этому в дальнейшем. Обозначим медиану следующим образом:
медиана x ...,,1 ()n
x
для нечетных n определяется как
y медиана x медиана xi− , ..., , ..., xi+
i =
где () /21−= n
n
xi
i ≡ (),
и Ζ обозначает множество всех натуральных чисел.
.
Медианный фильтр последовательности длиной {}n x i∈Ζ
i ,
5
ν
ν
ν
Стр.5