ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, NУДК
517.958: 531.327.13
ОБРУШЕНИЕ ВОЛН ПРЕДЕЛЬНОЙ АМПЛИТУДЫ
НАД ПРЕПЯТСТВИЕМ
В. Ю. Ляпидевский, Ж. Сюй∗
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск
∗ Институт физической океанографии Океанского университета Китая,
266003 Чиньдао, Китай
E-mail: liapid@hydro.nsc.ru
В длинноволновом приближении изучаются течения однородной тяжелой жидкости над
неровным дном. Предложена математическая модель, учитывающая как дисперсионные
эффекты, так и формирование турбулентного верхнего слоя при обрушении поверхностных
гравитационных волн. Исследовано асимптотическое поведение нелинейных возмущений
на фронте волны и найдены условия перехода от гладких течений к обрушивающимся
волнам при стационарном обтекании локального препятствия сверхкритическим
потоком.
Ключевые слова: однородная жидкость, сверхкритическое течение, волны предельной
амплитуды, обрушение волн.
Введение. Для описания волновых процессов в течениях однородной тяжелой жидкости
со свободной поверхностью широко используются математические модели, соответствующие
второму приближению теории мелкой воды (различные варианты уравнений
Буссинеска [1], уравнения Грина — Нагди [2], уравнения Железняка — Пелиновского [3]
и т. д.). Эти уравнения адекватно отражают структуру нелинейных волновых фронтов
умеренной амплитуды. Однако в отличие от точной постановки задачи Коши — Пуассона
в рамках второго приближения невозможно описать волны предельной амплитуды
и получить критерии перехода от гладких волн к обрушивающимся. Процесс обрушения
поверхностных волн в последнее десятилетие интенсивно исследуется экспериментально
[4–6]. Показано, что при обрушении развивается приповерхностный турбулентный слой,
который играет важную роль в формировании волнового фронта. Теоретические модели
этого процесса построены только для развитых турбулентных боров [7–9].
В данной работе исследуется математическая модель, учитывающая влияние поверхностного
турбулентного слоя на структуру стационарного течения в окрестности локального
препятствия.
1. Математическая модель. Уравнения мелкой воды для несжимаемой жидкости с
учетом поверхностного турбулентного слоя и негидростатичности распределения давления
могут быть записаны в следующем виде (см. [10, гл. 6]):
ht +(hu)x = −σq,
ut +uux +g(h+η +z)x +px = 0,
ηt +(ηv)x = σq,
(1)
Работа выполнена при финансовой поддержке Национального фонда естественных наук Китая (грант
№ 40276008) и Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05-05-64460).
◦ 3
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2006. Т. 47, Nvt
+vvx +g(h+η +z)x = σq(u−v)/η,
qt +vqx = σ(u−v)2 −(1+θ)q2/(2η).
Здесь h, η — глубина нижнего (потенциального) и верхнего (турбулентного) слоев; u,
v —соответствующие средние горизонтальные скорости в слоях; q —среднеквадратичная
скорость мелкомасштабного движения в верхнем слое; g —ускорение свободного падения;
z = z(x) — форма дна; коэффициенты σ и θ постоянны.
Для замыкания модели нужно выбрать выражение для связанного с эффектами негидростатичности
дополнительного давления p на дне канала. При p ≡ 0 уравнения (1)
представляют собой первое приближение теории мелкой воды с учетом обрушения поверхностных
волн. Структура бегущих волн для этой модели исследована в [9, 10]. При
p = p(h, ˙h, ¨
h), ˙h = ∂/∂t + u∂/∂x получаем обобщение различных моделей, соответствующих
второму приближению. Для описания стационарных течений со свободной поверхностью
в окрестности локального препятствия используем следующее представление для
избыточного давления:
p = u2(2hhxx −h2
x +3k(z2
(hu)x = −σq,
x +hzxx))/6.
uux +g(h+η +z)x +u2(2hhxx −h2
(ηv)x = σq,
x +3k(z2
(2)
При k = 1 зависимость (2) получена в [11], при k = 0—в [12]. Для стационарных течений
система (1), (2) принимает вид
x +hzxx))x/6 = 0,
vvx +g(h+η +z)x = σq(u−v)/η, vqx = σ((u−v)2 −(1+θ)q2)/(2η).
Рассматриваются гладкие решения (3), описывающие стационарные возмущения равномерного
сверхкритического потока (h = h0, u = u0, Fr = u0/√gh0 > 1) при обтекании
локального симметричного препятствия
z(x) = z(−x), z(x) = 0 при |x| > l.
h→h0, u→u0, η →0
при x→−∞.
(4)
Предполагается, что на достаточно большом расстоянии от препятствия вверх по потоку
течение не возмущено, т. е.
(5)
Требуется найти возможные волновые конфигурации, локализованные в окрестности препятствия.
Рассмотрим сначала решение этой проблемы в рамках более простой модели в
предположении о том, что поверхностный турбулентный слой отсутствует (η ≡ 0).
2. Уединенные волны над препятствием. При η ≡ 0 система (3) редуцируется к
модели, полученной в [11]:
u2/2+g(h+z)+u2(2hhxx −h2
hu = Q ≡ const,
x +3k(z2
x +hzxx))/6 = J = const .
(6)
В работе [11] уравнения (6) использовались для построения транскритических режимов
течения над препятствием (Fr < 1).
При Fr > 1 локализованные в окрестности препятствия течения задаются решениями
уравнений (6), удовлетворяющими условиям (5) и симметричными относительно начала
координат. Такие решения могут быть получены возмущением двух типов течений
над ровным дном: равномерного течения и уединенной волны. Поэтому в определенном
диапазоне чисел Фруда Fr > 1 в окрестности препятствия могут быть реализованы два
различных течения.
(3)
◦ 3
Стр.2
В.Ю. Ляпидевский,Ж. Сюй
y
5
1
2
h0, u0
d
3
0
x
Рис. 1. Сверхкритическое обтекание препятствия (модель (6), Fr = 1,5, σ = 0,15,
δ = 0,5h0, k = 0):
1 — возмущение уединенной волны; 2 — возмущение равномерного течения; 3 — препятствие
(полуцилиндр радиуса R = 0,5h0)
форма которого может быть найдена интегрированием уравнений при z = 0, то (6) редуцируется
к одному уравнению первого порядка
h2
x = 3
Fr2 h3
0
(h−h0)2(Fr2 h0 −h),
Q = h0u0, J = (Fr2/2+1)gh0.
Таким образом, проблема отыскания симметричных течений в окрестности локального
препятствия сводится к построению решений (6) на интервале (−l, 0) со следующими краевыми
условиями:
hx
x=−l = 3(Fr2 h0 −h)1/2
0
Fr2 h3
(h−h0), hx
x=0 = 0.
(8)
Решение задачи (6), (8) может быть найдено численно при заданной форме препятствия.
Для гладких препятствий простой формы можно показать, что существует критическое
значение Fr∗ > 1 такое, что при Fr > Fr∗ задача (6), (8) имеет два решения, причем при
увеличении числа Фруда амплитуда волны, соответствующей возмущенному солитону,
неограниченно возрастает [13, 14].
На рис. 1 представлены профили симметричных волн при сверхкритическом обтекании
локального препятствия (полуцилиндра), полученные возмущением уединенной волны
(кривая 1) и равномерного потока (кривая 2) в рамках модели (6) при k = 0. В отличие от
точной постановки задачи Коши—Пуассона [13] различные модификации уравнений мелкой
воды над неровным дном (второе приближение), включая уравнения Кортевега — де
Фриза [14, 15], не имеют ограничений на амплитуду волны и, следовательно, не дают критерия
перехода от гладких волн к обрушивающимся. В п. 3 показано, что использование
модели (3), учитывающей формирование поверхностного турбулентного слоя, позволяет не
только определить волны предельной амплитуды, но и описать процесс обрушения волны
и развития турбулентного бора.
Так как течение вне препятствия (при |x| > l) представляет собой часть солитона,
(7)
решение которого представляется в квадратурах. Заметим, что в (7) использованы условия
(5), т. е.
Стр.3