А.И. Григорьев
Нелинейные волны
на заряженной
поверхности жидкости
Ярославль 2006
1
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322
Б 43
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. <...> План 2006 года
Рецензенты
д-р физ.-мат. наук Коромыслов В.А.;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Б 43
Белоножко, Д.Ф. Нелинейные волны на заряженной
поверхности жидкости : моногр. <...> ISBN 5-8397-0507-1 (978-5-8397-0507-4)
В монографии в рамках аналитического асимптотического моделирования рассмотрены нелинейные капиллярно-гравитационные волны на свободной поверхности
идеальной и вязкой несжимаемой жидкости в плоской и
цилиндрической геометриях. <...> Периодические волны
на однородно заряженной плоской
поверхности несжимаемой жидкости <...> На практике неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к избытку электрического заряда проявляется в том, что при превышении поверхностной плотности заряда
некоторого критического значения с поверхности жидкости начинается сброс электрического заряда в виде большого числа маленьких сильно заряженных капелек [3]. <...> Он рассмотрел в линейном по амплитуде волны приближении задачу определения
спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной несжимаемой, идеально проводящей бесконечно глубокой жидкости. <...> Безразмерный параметр W > 0 в дальнейшем будет называться параметром Тонкса-Френкеля. <...> Принимается, что свободная поверхность
жидкости подвержена тепловым возмущениям, которые в фикси4
рованный момент времени образуют рельефную структуру
где
с
характерной
высотой
складок
~ kT / γ ,
k = 8.31 ⋅ 107 эрг / ( моль ⋅ град ) – постоянная Больцмана. <...> Для каждой моды с волновым числом k имеется свое пороговое значение параметра Тонкса-Френкеля
Wk = k <...> Для детального исследования вопроса необходим анализ задачи Френкеля в нелинейной по амплитуде волнового движения постановке. <...> В [42 – 48] было <...>
Нелинейные_волны_на_заряженной_поверхности_жидкости_.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Д.Ф. Белоножко
С.О. Ширяева
А.И. Григорьев
Нелинейные волны
на заряженной
поверхности жидкости
Ярославль 2006
1
Стр.1
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322
Б 43
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания. План 2006 года
Рецензенты
д-р физ.-мат. наук Коромыслов В.А.;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Б 43
Белоножко, Д.Ф. Нелинейные волны на заряженной
поверхности жидкости : моногр. / Д.Ф. Белоножко,
С.О. Ширяева, А.И. Григорьев; Яросл. гос. ун-т
им. П.Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – 288 с.
ISBN 5-8397-0507-1 (978-5-8397-0507-4)
В монографии в рамках аналитического асимптотического
моделирования рассмотрены нелинейные капиллярно-гравитационные
волны на свободной поверхности
идеальной и вязкой несжимаемой жидкости в плоской и
цилиндрической геометриях.
Книга издана при поддержке грантов Президента РФ
№ МК-929.2003.01 и МД-1990.2005.1, а также грантов
РФФИ
№ 03-01-00760, № 05-08-01147-а, №06-01-00066-а.
УДК 532.59:534.1
ББК В 253.322
Ярославский государственный
университет им. П.Г. Демидова, 2006
ISBN 5-8397-0507-1
(978-5-8397-0507-4)
Д.Ф. Белоножко, А.И. Григорьев,
С.О. Ширяева, 2006
2
Стр.2
1. Введение. Периодические волны
на однородно заряженной плоской
поверхности несжимаемой жидкости
1. Линейные волны. Началом теоретического исследования
периодических волн на заряженной поверхности жидкости является
работа Я.И. Френкеля [1], в которой исследован вопрос об
условиях реализации неустойчивости поверхности жидкости по
отношению к избытку поверхностно распределенного электрического
заряда. Л.А. Тонкс за год до появления работы Френкеля
провел качественную оценку условий реализации этой неустойчивости
[2]. Он получил критерий неустойчивости заряженной
поверхности жидкости с точностью до коэффициента 2, сравнивая
лапласовское давление под искажением, в виде сферического
сегмента, рельефа плоской поверхности с давлением на него
однородного электростатического поля, направленного перпендикулярно
невозмущенной поверхности.
На практике неустойчивость заряженной поверхности жидкости
по отношению к избытку электрического заряда проявляется
в том, что при превышении поверхностной плотности заряда
некоторого критического значения с поверхности жидкости начинается
сброс электрического заряда в виде большого числа маленьких
сильно заряженных капелек [3]. Сначала на поверхности
образуются конусообразные выступы – конусы Тейлора. Затем с
вершин этих выступов электрическое поле начинает отрывать заряженные
капельки [4, 5].
Френкель строго вывел уточненный критерий неустойчивости
в рамках метода нормальных мод [6]. Он рассмотрел в линейном
по амплитуде волны приближении задачу определения
спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности
идеальной несжимаемой, идеально проводящей бесконечно
глубокой жидкости. В системе координат OXYZ с осью OZ ,
направленной вертикально вверх, и плоскостью OXY , совпадающей
с равновесной в поле сил тяжести плоской поверхностью
жидкости, полная математическая формулировка этой задачи
имеет вид [1,7]:
z > 0:
∆Φ = 0 ;
3
z < 0 :
∆ = 0;
ϕ
Стр.3
z = 0:
∂
∂ = ∂
∂
t
z
;
−
g
− ∂
Φ− 4 0 = 0;
z→ ∞:
| →Φ∇ | 0;
Здесь t – время;
и
= ( , )xt
z→ −∞:
сти жидкости от плоской равновесной формы;
| →∇ | 0 .
– отклонение свободной поверхно0
– поверхностная
плотность электрического заряда в равновесном состоянии;
– плотность и коэффициент поверхностного натяжения жидкости
соответственно; g – ускорение поля силы тяжести;
( , , )zxt
=
ный возмущением ее свободной поверхности; () – до–
потенциал поля скоростей в жидкости, обусловленΦ
= Φ t x z,,
бавка к величине электрического потенциала над поверхностью
жидкости, вызванная отклонением формы этой поверхности от
равновесной плоской. Для простоты движение жидкости считается
не зависящим от координаты y .
Решение задачи Френкеля в комплексной форме имеет вид
[1, 7]:
= ()) ;
exp (i k x −
t
=
kg 1 2
+ k
g kW .
−
Безразмерный параметр W > 0 в дальнейшем будет называться
параметром Тонкса-Френкеля. Он равен отношению электрических
и лапласовских сил под искривлением свободной поверхности
жидкости с характерным линейным масштабом, равным
капиллярной постоянной жидкости, и определяется выражением:
W
2
= 4 0
g
.
Общим решением задачи Френкеля является суперпозиция
синусоидальных прогрессивных волн различных длин
= 2 / k ,
где k – волновое число. Принимается, что свободная поверхность
жидкости подвержена тепловым возмущениям, которые в фикси4
∂
− ∂
t κ z
0
∂
∂ + ∂Φ
2
x
2 0;
=
ξ
γ
ϕ
ρξ
ρ
π
ϕ
ξ
ξ
ξ
ρ γ
ω
γ
ϕ
ϕ
ξ
ζ
λ
ω
π
κ γ
ρ
π
κ
ξ
κ
ϕ
ρ
Стр.4
рованный момент времени образуют рельефную структуру
с
характерной
высотой
k=⋅ ⋅
8.31 10 /эрг моль град
складок ~/
kT γ ,
где
7 () – постоянная Больцмана. Согласно
принципам гармонического анализа, такой рельеф можно представить
суперпозицией «простейших гармонических складок».
Решение Френкеля показывает, как такие простейшие возмущения,
называемые в дальнейшем модами, будут эволюционировать
во времени.
При
ний остается малой ~/
волновых чисел:
2
1
g W W − < <
2
(
−
4) k
0 ≤ ≤W амплитуда всех возможных тепловых возмущеkT
γ . При W>2 существует интервал
2
2
1
g W W − 4),
2
(
+
для которых амплитуды возмущений экспоненциально растут во
времени. В рамках линейного подхода это нарастание не ограничено
(т.е. обеспечено до тех пор, пока амплитуда волны уже не
сможет считаться весьма малой по сравнению с ее длиной).
Складывается следующая картина явления. Если
0 ≤
Стр.5
Оглавление
1. Введение. Периодические волны на однородно заряженной
плоской поверхности несжимаемой жидкости.......................... 3
1.1.Линейные волны.......................................................................... 3
1.2. Нелинейные волны..................................................................... 7
2. Нелинейные периодические волны на однородно заряженной
поверхности электропроводной идеальной жидкости.
Нелинейный анализ устойчивости заряженной
поверхности жидкости................................................................... 12
2.1. Нелинейные периодические капиллярно-гравитационные
волны на однородно заряженной поверхности идеально
проводящей бесконечно глубокой идеальной несжимаемой
жидкости..................................................................................... 12
2.2. Нелинейные поправки к критическим условиям реализации
неустойчивости плоской заряженной поверхности
электропроводной жидкости.................................................... 37
2.3. Нелинейный анализ временной эволюции неустойчивой
заряженной плоской свободной поверхности жидкости....... 42
2.4. Нелинейный анализ формы конуса Тейлора .......................... 63
.3. Нелинейные волны на поверхности вязкой жидкости.............. 74
3.1. Нелинейные периодические волны на однородно
заряженной поверхности электропроводной
вязкой жидкости....................................................................... 74
3.1.1. Решение задачи об аналитическом асимптотическом расчете
капиллярно-гравитационного нелинейного периодического
волнового движения в бесконечно глубокой вязкой
электропроводной несжимаемой жидкости..................... 74
3.1.2. Формы нелинейных капиллярно-гравитационных волн
на свободной поверхности вязкой жидкости ......................... 94
3.1.3. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны
на заряженной свободной поверхности маловязкой
жидкости .................................................................................... 100
3.1.4. Влияние поверхностного заряда на формы нелинейных
капиллярно-гравитационных волн на поверхности вязкой
жидкости .................................................................................... 113
3.2. О расчете волнового движения в рамках теории пограничного
слоя..................................................................................... 122
285
Стр.285
4. Интерлюдия. Периодические волны на поверхности
однородно заряженной цилиндрической струи
несжимаемой жидкости. Дробление заряженных
струй................................................................................................. 148
5. Нелинейные неосесимметричные волны на однородно
заряженной поверхности струи идеальной несжимаемой
электропроводной жидкости ...................................................... 162
5.1. Одномодовая начальная деформация свободной
поверхности струи ................................................................... 162
5.2. Многомодовая начальная деформация..................................... 188
5.3. Аналитический расчет нелинейной поправки
к частоте волны конечной амплитуды
на поверхности заряженной струи ....................................... 213
6. Аналитическое асимптотическое решение задачи
о нелинейных осцилляциях толстой заряженной
струи вязкой жидкости ................................................................ 239
7. Литература ......................................................................................... 265
8. Оглавление ......................................................................................... 285
286
Стр.286