Естественные и технические науки №6 2012 (180,00 руб.)

Стр.1

Стр.2

Стр.3

Естественные и технические науки, № 6, 2012 ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ Физико-математические науки Математика Дискретная математика и математическая кибернетика Иванов С.А., аспирант Челябинского государственного педагогического университета УСТОЙЧИВОСТЬ РЕКУРСИВНЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ СО ЗВЕЗДНОЙ ТОПОЛОГИЕЙ СВЯЗЕЙ Получены критерии устойчивости дискретных нейронных сетей со звездной топологией связей. Построены области устойчивости в пространстве параметров для таких сетей. Задача сводится к проблеме устойчивости матричных разностных уравнений высоких порядков с запаздыванием. Основным средством решения проблемы являются конусы устойчивости. Ключевые слова: нейронные сети, разностные матричные уравнения, устойчивость разностных уравнений, звездные нейронные сети. THE STABILITY OF THE RECURSIVE NEURAL NETWORKS WITH STAR TOPOLOGY The stability conditions are described for the discrete neural networks with star topology. The stability domains in the parameters space are constructed. The problem reduces to the stability problem of the matrix difference higher order equations with two delays. The main tool is the stability cone. Keywords: neural networks, difference matrix equations, stability, star networks. Мы рассматриваем нейронные сети со звездной топологией связей с равным запаздыванием во взаимодействиях нейронов в сети. В статье [1] приведены геометрические алгоритмы для проверки устойчивости матричного разностного уравнения с двумя запаздываниями. Рассмотрим дискретную модель нейронной сети со звездной топологией связей. В модели взаимодействие различных нейронов запаздывает на k тактов. Данная система принадлежат классу матричных разностных уравнений вида x Ax Bx− 1 s ssk− ,=+ 1,2 s = K (1) которые обладают важным для нас свойством: матрицы BA, могут быть приведены к треугольному виду одним преобразованием. Поэтому мы имеем возможность применить метод конуса устойчивости [1] для изучения устойчивости этих уравнений. Для сетей со звездной топологией уравнение (1) примет вид: x =+ , s ssk Ix Bx 1 где I – единичная матрица, (1 1) −− s 1,2= K −< < , матрица B характеризует взаимодействия нейронов в сети. 21 (2) коэффициент затухания собственных колебаний нейрона γ γ γ

Стр.1

Естественные и технические науки, № 6, 2012 Для сети нейронов звездной конфигурации с l нейронами матрица взаимодействий B размера ll Ч примет вид B b b =⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎜⎟ 0 aa MM O M L 00 , 00 L L (3) где a сила действия периферийного нейрона на центральный, b сила обратного воздействия. ем множество точек M (, , )uu u R∈ , такое что = 12 3 uiu где параметры ,h 12 exp( ) exp( ( 1) ),u h, += − связаны соотношениями sin 0, . sin( 1) ≤≤ − ≤ ≤ − h kk k k ik h i k − 3 = (4) Определение 1. Конусом устойчивости для уравнения вида (2) для данного k мы называ3 (5) Для применения теории конусов устойчивости необходимо знать собственные числа матрица B . Для матрицы B порядка l собственные числа равны 12 l 1− =− lab , == =L ; 0 l = lab . матрицы с диагональными элементами 3 M uu u R=∈ (1 jj j(, , ) 12 3 j j ) uiu Теорема 1 [1]. Пусть ,, ∈ и 11 jj , A BS R Ч ll = ≤≤l так что 12 SAS A S BS B−− TT, = , где TT ,AB треугольные соответственно (1≤ jl)≤ . Построим точки jj j exp( arg ), u3 j = . += −ik j j j (6) Тогда уравнение (1) асимптотически устойчиво, если и только если все точки M лежат внутри конуса устойчивости (4), (5) для данного k . Если некоторая точка M лежит вне коj нуса устойчивости, то уравнение (1) неустойчиво. Теорема 1 сводит задачу диагностирования устойчивости системы (1) l − го порядка к геометрической задаче в 3 что все точки M jl) R : асимптотическая устойчивость системы равносильна условию, j (1≤≤ лежат внутри конуса устойчивости (4), (5) для данного k . параметра γ, мы называем кривуюMu u 12 ik Определение 2. Овалом устойчивости для уравнений вида (1) для запаздывания k 1> и = 12 () ( ( ), ()) , такую что uiu ( ) exp( ) exp( ( 1) ) , ( )+= − 22 i k − ω ω ππ ω ω ω λ ω λμ μ μ μ ω ω ωω γ ωω λ ω μ μ

Стр.2

где ∈− 11 Естественные и технические науки, № 6, 2012 (, ) , где 1 есть наименьший положительный корень уравнения sin = sin( 1) k k − . Овал устойчивости для данного запаздывания k и данного γ это сечение конуса устойчивости (см. Определение 1) плоскостью 3u = . Благодаря Теореме 1 для диагностирования устойчивости уравнения (2) достаточно проверить одну точку. Теорема 2. Пусть даны произвольные ,n kZ ,+ ∈ uiu lab+= 12 . чива. В противном случае система (2) неустойчива. Теорема 3. Система (2) асимптотически устойчива, если и только если sin ( ) или >>− 0 ab F () l 2 ный корень уравнения . Здесь F() cos( 1) ( ) sin = = cos( 1) k k − . Области устойчивости системы (2) отражены на рисунках 2 и 3. k − , где () есть наименьший неотрицательЕсли точка M лежит внутри овала устойчивости, то система (2) асимптотически устой2 0 ab ≤< − (1 ) l овал устойчивости (см. Определение 2) для данных ,k так, что k 1> . Пусть 01 . Построим точкуM (, )uu R=∈ 2 ≤ ≤ . Построим в 2 12 R Рис.2. Области устойчивости в плоскости (, )ab при фиксированных = 0. 4 , 9=l переменном запаздывании k . и Рис.3. Области устойчивости в плоскости ( , )ba при фиксированных = 0. 4 , k = 2 и переменном количестве нейронов l . При стремлении к бесконечности запаздывания k границы области устойчивости, расположенные во второй и четвертой четвертях, приближаются к осям координат, а границы, расположенные в первой и третьей четвертях, остаются без изменения. При стремлении количества нейронов l к бесконечности область устойчивости стягивается в крест. 23 ω ω γ ω ωω ω ωγ γ γ γ ωγ ω ω γ ωγ γ γ γ γ γ

Стр.3