МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ
И ОБРАЗОВАНИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЧЕЛЯБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
АГРОИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ»
Кафедра сопротивления материалов
Утверждаю.
Проректор по УР
А.А.Патрушев
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
И СЖАТИИ
в программных продуктах
MathCAD, SCAD
Методические указания
Челябинск
2009
Стр.1
Методические указания предназначены для студентов 2-го курса специальности
190206 «Сельскохозяйственные машины и оборудование» направления
190200 – «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», изучающих
курс «Сопротивление материалов».
На примере программ MathCAD, SCAD реализуется идея использования
уже на младших курсах на факультетах сельскохозяйственного машиностроения современных
проектно-вычислительных комплексов, применяемых в инженерной практике
для расчетов и проектирования строительных и машиностроительных конструкций.
Методические
указания могут быть полезны студентам всех курсов специальности
190206 «Сельскохозяйственные машины и оборудование», аспирантам и инженерно-техническим
работникам АПК.
Составитель
Жилкин В.А. - докт. техн. наук, профессор (ЧГАА)
Рецензенты
Сапожников С.Б. - докт. техн. наук, проф. (ЮУрГУ)
Рахимов Р.С. - - докт. техн. наук, проф. (ЧГАА)
Печатается по решению редакционно-издательского совета ЧГАА
© ФГОУ ВПО "Челябинская государственная агроинженерная академия", 2009.
2
Стр.2
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой
вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только продольная
сила N (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия
равны нулю (рис.1). Растяжение (сжатие) называется центральным тогда, когда нормальная
сила приложена в центре тяжести поперечного сечения бруса.
Рис.1
При центральном растяжении (сжатии) бруса зависимости между напряжениями
и внутренними усилиями имеют вид
N = ∫ σ d ;A
A
x
Q =
y
Q =
z
M =
y
M =
z
M =
x
A
A
A
A
∫
∫
∫
∫
∫
A
(τxzy − τxy z Ad 0.
)
=
σ
σ
τ
τ
xy dA 0;
=
xz dA 0;
=
x z Ad 0;
=
x y Ad 0;
=
Растяжение и сжатие брусьев - самый распространенный и простой вид деформации.
Система уравновешенных внешних нагрузок, вызывающих растяжение-сжатие,
может состоять не только из двух, но и из произвольного числа сил, приложенных так,
что их равнодействующие будут направлены вдоль оси бруса. При вертикальном расположении
бруса его растяжение или сжатие произойдет и от собственного веса. В
3
(1)
Стр.3
этом случае брус будет загружен равномерно распределенной вдоль его оси нагрузкой
интенсивностью
q A gρ=
,
(2)
где A - площадь поперечного сечения бруса, ρ - плотность материала бруса, g - ускорение
свободного падения.
Сжатие отличается от растяжения формально только знаком силы N. Поэтому
методы решения задач при растяжении и сжатии брусьев оказываются одними и теми
же. Между растяжением и сжатием, однако, имеется существенное различие. Оно проявляется,
в частности, в неодинаковом сопротивлении многих материалов разрушению
при их растяжении и сжатии, а также в поведении тонких длинных стержней: при растягивающих
усилиях они остаются прямыми вплоть до разрыва, сжатие же этих
стержней, как правило, сопровождается изгибом. Поэтому сжатые стержни, кроме расчета
на сжатие, должны рассчитываться еще и на устойчивость - сохранение первоначальной
формы равновесия стержня.
2. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ
БРУСА ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
Экспериментальные исследования деформированного состояния стержня постоянного
сечения центрально растянутого двумя силами P позволяют сформулировать
следующие гипотезы:
1. Сечения, плоские до деформирования бруса, остаются плоскими и после его
деформирования, а так как они перемещаются поступательно в направлении
оси бруса (оси x ), то относительные деформации xε постоянны, что влечет
за собой, в соответствии с законом Гука, постоянство напряжений xσ .
2. Учитывая малость поперечных размеров бруса по сравнению с его длиной, предполагают,
что и нормальные напряжения yσ u zσ в продольных сечениях бруса равны нулю;
эту гипотезу иногда формулируют так: «при центральном растяжении или
сжатии «продольные волокна бруса» не давят друг на друга».
На основании этих гипотез из уравнения (1) следует
σx = ;
ε = σx
A
N
x
E
=
EA
N
,
(3)
(4)
где E - модуль продольной упругости, A - площадь поперечного сечения бруса. Произведение
EA называют жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении (сжатии).
Итак,
в поперечных сечениях бруса при его растяжении (сжатии) возникают
только нормальные напряжения xσ , равномерно распределенные по площади поперечного
сечения и определяемые по формуле (3). В продольных сечениях бруса не возникает
никаких отличных от нуля напряжений: ни нормальных, ни касательных.
Фактически распределение напряжений в сечениях бруса, примыкающих к месту
приложения внешних сил, зависит от способа приложения нагрузки и может быть
неравномерным. Экспериментальные и теоретические исследования показали, что это
нарушение равномерности распределения напряжений носит местный характер. В сечениях
бруса, отстоящих от места нагружения на расстоянии, примерно равном наибольшему
из поперечных размеров бруса, распределение напряжений можно считать
практически равномерным.
4
Стр.4
Рассмотренное положение является частным случаем принципа Сен-Венана: напряженное
состояние в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки,
не зависит от детального характера приложения этой нагрузки.
В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса возникают
местные напряжения. Это явление называется концентрацией напряжений. О
нем мы поговорим более подробно несколько позднее.
В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях
бруса неодинаковы, целесообразно показать закон их изменения по длине бруса в
виде графика – эпюры нормальных напряжений.
В соответствии с определением относительной деформации
ε ∆=
x
L
L
,
(5)
где L - длина бруса, L∆ - приращение длины бруса, вызванное силой N (иногда эту
величину называют абсолютной деформацией).
Зависимость (4) позволяет определить приращение длины бруса:
EA
∆L NL=
.
эффициента жесткости бруса (участка бруса длиной L):
L
D EA
L
=
= ∆
N
.
Жесткость бруса численно равна силе, вызвавшей удлинение (или укорочение)
бруса, равное единице длины 1 м или 1 см и т. д. При расчетах в единицах СИ коэффициент
жесткости измеряют в Н/м (или H/мм).
С учетом введенных обозначений и зависимости (6) продольную силу в поперечных
сечениях стержня можно записать в виде
N D L∆=
,
т. е. сила равна произведению жесткости бруса на перемещение точки приложения силы.
датливости:
Величину,
обратную коэффициенту жесткости, называют коэффициентом по∆L
β
= =
D
1
EA
L
=
N
.
Коэффициент податливости численно равен удлинению (укорочению) бруса,
вызванному силой, равной единице силы: 1 Н или 1 кН и т. п.
Из экспериментов следует, в частности, что при центральном растяжении или
сжатии отношения поперечных деформаций к продольным есть величины постоянные
для данного материала. Взятые по абсолютной величине, они называются коэффициентами
поперечной деформации. По результатам эксперимента можно определить
два коэффициента поперечной деформации:
µ =
xy
ε
ε
x
y
;
µ =xz
5
ε
ε
x
z
,
(7)
(6)
При практических расчетах иногда удобно ввести понятие жесткости или ко
Стр.5