Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Департамент кадровой политики и образования
Челябинский государственный агроинженерный университет
В.А. Жилкин
ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ MATHCAD
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ
МЕХАНИКИ
Часть 2. Теоретическая механика
К и н ема т и к а
Рекомендовано УМО вузов Российской Федерации
по автотракторному и дорожному образованию
в качестве учебного пособия для студентов специальности
«Сельскохозяйственные машины и оборудование»
Челябинск
2001
Стр.2
УДК 531.32: 631.3
Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении задач
прикладной механики. Часть 2. Теоретическая механика. Кинематика:
Учебное пособие. Челябинский государственный агроинженерный
университет. – Челябинск, 2001.- 200 с.
В учебном пособии излагаются основные положения раздела
«Кинематика» курса теоретической механики, предусмотренные
учебным планом специальности 171000 «Сельскохозяйственные
машины и оборудование». При решении задач, там где это целесообразно,
используется программный продукт MathCAD 2000.
Большинство задач взято из сборника И.В. Мещерского.
Учебное пособие предназначено для студентов первого курса
специальности 171000 «Сельскохозяйственные машины и оборудование»,
изучающих курс «Теоретическая механика» и является продолжением
уже изданных пособий:
1) Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении задач прикладной
механики. Часть 1. MathCAD. Челябинск, 2000. – 71 с.;
2) Жилкин В.А. Применение системы MathCAD при решении задач прикладной
механики. Часть 2. Теоретическая механика. Статика. Челябинск,
2000. – 100 с.;
Рецензенты
Сапожников С.Б. – докт. техн. наук, проф. (ЮРГУ)
Рахимов Р.С. – докт. техн. наук, проф. (ЧГАУ)
ISBN 5-88156-213-5
© Челябинский государственный агроинженерный университет,
2001.
Стр.3
2.2. КИНЕМАТИКА
В этом разделе механики изучается движение точки или тела независимо
от причин, вызывающих или изменяющих его, т.е. независимо от
сил. По предложению французского ученого А м п е р а (1775-1836) этот
раздел механики называется кинематикой.
Движение точки или тела происходит в пространстве с изменением
времени. При этом пространство предполагается трехмерным евклидовым.
Его свойства во всех точках и направлениях одинаковы и не зависят
от тел, находящихся в нем, и от их движений. Такое пространство называют
абсолютным.
Под движением точки понимают изменение положения точки или
тела в пространстве по отношению к какому-либо другому телу.
Это значит, что при изучении движения тела всегда должно быть
известно относительно какого другого тела рассматривается это движение.
С телом, по отношению к которому изучается движение, телом отсчета,
связывают систему координатных осей и часы. Эту совокупность
тела отсчета и связанную с ним систему координатных осей (систему координат)
и часов называют системой отсчета. В кинематике безразлично,
какое движение совершает выбранная система координат по отношению
к каким-то иным телам, не входящим в рамки рассматриваемого
явления. Однако всегда следует иметь в виду, что характер наблюдаемого
движения существенно зависит от выбора тела (системы координат),
относительно которого изучается движение. Так, поршень автомобильного
двигателя совершает относительно корпуса автомобиля прямолинейное
колебательное движение, а относительно дороги, по которой
движется автомобиль с постоянной скоростью, перемещается по синусоиде.
Время
принято считать одинаковым во всех системах отсчета, независимо
от их движения. Это время называют абсолютным. Начало отсчета
времени, т. е. тот момент времени, с которого начинается его счет,
можно выбирать применительно к условиям задачи. Единицы для измерения
расстояния и времени также можно выбирать применительно к условиям
задачи. Основной единицей времени является секунда (с), расстояния
- метр (м).
Так как в теоретической механике считается, что время, являющееся
непрерывно изменяющейся величиной, не зависит от движения тел и
одинаково во всех точках пространства и всех системах отсчета, то, говоря
о системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела отсчета
или системы координатных осей (системы координат), связанных с
этим телом. В кинематике движение тел изучается с чисто геометриче3
Стр.4
ской точки зрения и связь между движением и движущими силами не
рассматривается.
Связь между положением движущейся точки в пространстве и
временем определяет закон её движения.
Задать движение точки или тела относительно какой-либо системы
отсчета значит сформулировать условия, позволяющие найти
их положение в любой момент времени относительно этой системы
отсчета.
ния материальных точек и их систем1.
2.2.1. Кинема тик а точки
Основной задачей кинематики является изучение законов движе2.2.1.1.
Способы задания движения точки
Движение точки в пространстве определяется тремя основными
способами: векторным, координатным и естественным.
2.2.1.1.1. Векторный способ
Выберем в пространстве неподвижную
точку O и проведем из этой точки в точку M,
движение которой изучается, радиус-вектор r
r
«Применение системы MathCAD при решении
задач прикладной механики. Часть 2. Теоретическая
механика. Статика. Челябинск,
(рис. 2.69; нумерация рисунков и формул является
продолжением нумераций этих параметров
учебного
пособия: Жилкин В.А.
2001»). Каждому моменту времени t соответст
Г а л и л е я Галилео (1564-1642), который впервые ввел понятие «ускорение»;
Г ю й г е н с а Христиана (1629-1695), обобщившего понятие «ускорение» для слу1
Развитие кинематики связано с работами механиков:
Л е о н а р д а Эйлера (1707-1783), заложившего основы кинематики твердого тела
и создавшим аналитические методы решения задач механики;
чая криволинейного движения, он первый применил разложение ускорения на касательную
и нормальную составляющие;
Ч е б ыше в а Пафнутия Львовича (1821-1894), основоположника русской
школы теории механизмов и машин.
4
К о р и о л и с а Гюстав Гаспара (1792-1843), установившего основной закон сложения
ускорений в случае каких угодно составных движений;
П о н с е л е Жан Виктора (1788-1867), применившего методы кинематики для исследования
движения механизмов и машин;
Стр.5
вует определенное значение r
r . Следовательно, радиус-вектор r
r однозначно
определяет положение точки M. Функция времени
r r ( t )rr =
определяет закон движения точки M.
Кривая, описываемая точкой M в пространстве, называется траекторией
движения точки.
Уравнение (2.63), конечно, является также векторным уравнением
траектории.
Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает
конец этого вектора при изменении его аргумента (предполагается,
что начало вектора находится все время в одной и той же точке).
Годографом радиус-вектора, определяющего положение точки, будет
траектория точки.
Задать вектор как функцию времени значит уметь находить его
модуль и направление в любой момент времени, следовательно, задание
радиус-вектора как функции времени обязательно предполагает наличие
системы координат. При решении конкретных задач обычно переходят
от векторного способа к координатному и естественному способам задания
движения.
2.2.1.1.2. Координатный способ
Способ задания движения, заключающийся в задании координат
точки как известных функций времени, называется координатным способом
задания движения и требует выбора конкретной системы координат.
Этот выбор определяется содержанием решаемой задачи.
Ортогональная декартовая система координат
При рассмотрении движения в прямоугольной
декартовой системе координат
указанный способ заключается в задании
координат x , y , z подвижной точки M
как известных функций времени (рис.
2.70):
x = x( t ), y = y( t ) , z = z( t ) .
5
(2.64)
(2.63)
Стр.6
Три функциональные зависимости (2.64) называются кинематическими
уравнениями движения точки.
Если точка движется в плоскости Oxy , ее движение определяется
двумя уравнениями:
x = x( t ), y = y( t ) .
одной координатой:
(2.65)
Если точка движется по прямой, ее положение можно определить
x = x( t ) .
(2.66)
Уравнения движения (2.64) точки M представляют собой одновременно
и уравнения траектории в параметрическом виде, где роль параметра
играет время t . Чтобы найти уравнения траектории в координатной
форме, надо из уравнений (2.64) исключить параметр t .
скоростью 10=
Задача 10.12. Кривошип OA вращается с постоянной угловой
рад/с. Длина O A 80BA
=
=
см. Найти уравнения движения
и траекторию средней
точки M шатуна, а
также уравнение движения
ползуна B, если в начальный
момент ползун находился
в крайнем правом
положении; оси координат
указаны на рис.2.71,а.
Ответ:
1) xM = 120 os (
s 1 t)0
yM = 40 in (
120
x
2
2 +
3) уравнение движения ползуна B: xB = 160c 1 t )0
os(
точки M: r
или
векторы Ar
r и AMr
r :
M M
r
M M
r
x i y j x i y j x i yAM j .
M +
r
rM ( t ) r ( t ) rAM ( t )
r
r
M
=
A +
= A
r
r
6
+
r
A
+
AM +
r
r
(2.67)
40
y
.
Решение. По условию задачи требуется определить радиус-вектор
r = r ( t ) . Функцию r
r = r ( t ) определим через известные
r
2
2 = 1;
c 1 t)0
;
,
2) траекторией точки M
является эллипс
ω
Стр.7