Комбинаторный анализ. Теория графов

Пособие соответствует дисциплине «Дискретная математика» и предназначено для студентов специальностей «032100.00 - Математика с дополнительной специальностью «Информатика», «030100.00 - Информатика с дополнительной специальностью», «032200.00 — Физика с дополнительной специальностью «Информатика». Пособие включает в себя задачи и упражнения по комбинаторике и теории графов. По каждой теме приводятся минимальные теоретические сведения, контрольные вопросы и типовые задачи с решениями.

Одной из наиболее интересных проблем теории полугрупп является проблема изоморфизма для данного класса полугрупп, состоящая в существовании алгоритма (отличающегося от алгоритма полного перебора), распознающего для любых двух полугрупп из данного класса, изоморфны они или нет. Аналогичная проблема есть и в теории графов, причем для некоторых классов графов этот вопрос решен. В статье рассмотрены полугруппы, являющиеся полурешетками, для проверки изоморфизма которых можно применить известные алгоритмы проверки изоморфизма графов. Описано, как для таких полугрупп можно найти соответствующий им граф. Этот граф может оказаться деревом, и в этом случае для проверки изоморфизма полугрупп можно применить известные алгоритмы проверки изоморфизма деревьев. Сформулирован и доказан критерий того, в каком случае граф полурешетки является деревом. Далее обосновывается выбор алгоритма проверки изоморфизма деревьев, описан этот алгоритм, представлена программа, написанная на языке Haskell, реализующая его. чтобы применить выбранный алгоритм для проверки изоморфизма полурешеток, необходимо сначала полурешетке сопоставить дерево. Для этого авторами разработан и реализован также на языке Haskell необходимый алгоритм. Созданная в итоге программа для двух полурешеток, заданных таблицами Кэли, работает следующим образом: она выводит структуру соответствующих полурешеткам деревьев, каноническое имя полученных деревьев, проверяет изоморфизм деревьев, а значит, и полурешеток. При этом выбор и реализация алгоритмов являются эффективными, программа в течение нескольких секунд определяет изоморфизм полурешеток с трехзначным числом элементов.

В методических указаниях представлены основные подходы к построению и анализу структурной модели системы, базирующиеся на теории графов. Даны алгоритмы определения минимальных путей, выделения порядковой функции на графе, топологической декомпозиции структуры. Рассмотрены структурно-топологические характеристики систем, их описание и порядок расчета. Приведены примеры.

В своей статье автор обращается к проблеме построения курса дискретной математики в педагогическом университете и его изучения студентами специальностей «математика» и «информатика». В рамках данной статьи показана возможность использования презентаций Power Point при проведении учебных занятий по дискретной математике с выделением этапов, требований и последующим анализом

При проведении практических занятий по курсу «Дискретная математика» на физико-математическом факультете педвуза наиболее результативной формой контроля в процессе самостоятельной работы студентов является микроконтрольная работа. Данная форма работы не занимает долгого времени, рассчитана на круг задач по определенной теме, а своей целью имеет проверку математических знаний и умений, приобретенных студентами на предыдущих занятиях.

Рассмотрены задачи о потоках в сетях с нестандартной достижимостью. Показано, что классическое определение потока в сети не учитывает тот факт, что допустимыми на таких сетях являются не все пути. Введенные в работе определения позволяют корректно определить поток в таких сетях, максимальный поток и пропускную способность сетей с нестандартной достижимостью. Рассмотрено семейство сетей с барьерной достижимостью. Найден предел последовательности пропускных способностей семейства, когда высота барьеров неограниченно возрастает.

Рассмотрены графы с меняющейся длительностью прохождения по дугам. Сформулирована и изучена задача нахождения максимального потока на таких графах. Для ее решения предложено построение вспомогательного графа. Сформулированы и доказаны теоремы о соответствии путей исходного и вспомогательного графов. Введены понятия отношения влияния для дуг, обобщенных сетей со связанными дугами и степени влияния цепей в них. Предложена верхняя оценка величины максимального суммарного потока в сети с меняющейся длительностью прохождения по дугам.

Рассмотрена модель распределения двух ресурсов в однородных несимметричных двусторонних полных ресурсных сетях с петлями. Ресурсная сеть однородна, если все пропускные способности дуги равны: полная, если любые две вершины соединены с противоположными дугами, и симметричная, если в каждой паре противоположных дуг пропускные способности одинаковы. Рассмотрены два вида распределения ресурсов: 1-й − для каждой дуги указана одна пропускная способность, 2-й − две. Для каждого вида распределения разработаны методы нахождения предельного состояния для произвольной величины суммарного ресурса и порогового значения ресурсной сети.

В учебном пособии изложены сведения о физиологических и психологических законах зрительного восприятия, определяющих эффективность воздействия компьютерных и графических визуализаций. В этой связи приводятся некоторые художественные технические приемы построения изображений, создающих иллюзию объемности.

В пособии доказана лемма Бернсайда и приведена без доказательства теорема Пойа о производящей функции запаса классов эквивалентности раскрашиваний. Изложение не предполагает никаких предварительных сведений и доступно студентам первого курса. Введены основные алгебраические понятия, начиная с множеств, отображений и бинарных отношений и заканчивая действием группы на множестве. Пособие содержит многочисленные примеры, а также варианты домашнего задания по вычислению количества способов раскрашивания вершин, ребер и граней многогранников.

Рассматривается обобщенная формула Родрига, позволяющая определить некоторые важные семейства многочленов, используемые в комбинаторном анализе. Эта формула применяется для получения рекуррентных соотношений и производящих функций. В частности, с этих позиций исследуются обобщенные многочлены Эйлера и рассматриваются их свойства. Для комбинаторной интерпретации коэффициентов этих многочленов привлекаются обобщенные перестановки Гесселя-Стенли и корневые помеченные r-угольные кактусы. Также рассматриваются конечно-разностные и g-аналоги обобщенной формулы Родрига, с помощью которых, в частности, изучаются g-аналоги экспоненциальных многочленов и многочленов Эйлера, а также их свойства.

Рассматриваются четыре комбинаторные задачи, параметризованные кратностью r элемента базового мультимножества: распределение индексов vp-монотонных перестановок, обобщенные перестановки Гесселя-Стенли и обобщенные частично упорядоченные множества Баклавского-Эдельмана, обобщенные числа Стирлинга и обобщенные частично упорядоченные множества разбиений, обобщенные статистики и обобщенные многочлены Эйлера. Для исследования этих задач привлекаются различные методы.

Теоретические основы прикладной дискретной математики Математические методы криптографии Псевдослучайные генераторы Математические методы стеганографии Математические основы компьютерной безопасности Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем Прикладная теория кодирования Прикладная теория графов Прикладная теория автоматов Математические основы информатики и программирования Вычислительные методы в дискретной математике

В журнале публикуются результаты фундаментальных и прикладных научных исследований отечественных и зарубежных ученых, включая студентов и аспирантов, в области дискретной математики и её приложений в криптографии, компьютерной безопасности, кибернетике, информатике, программировании, теории надежности, интеллектуальных системах. Включен в Перечень ВАК.