Фундаментальные и общие проблемы математики. Основания математики, математическая логика

Все началось с камня… Шел каменный век. Человек научился делать первые симметричные вещи — рубила. Человек вдруг начал различать структуры и создавать символы, и это выделило его из мира животных. Восприятие структур и производство символов с тех пор шли рука об руку. И то, и другое — абстрактные вещи. Восприятие и производство абстрактных вещей стало отличительной стороной деятельности людей и основой развития человеческой цивилизации. Книга посвящена анализу процесса осознания структур, которые реально существуют в природе вне зависимости от человека, и репрезентации их в символических формах.

Математические символы прошли долгую эволюцию, прежде чем «заговорили» на этом совершенном языке. В настоящей книге прослеживается вся история его развития, начиная от математических символов древности, арифметики во времена древнего Вавилона, геометрии Египта, логики античной Греции до математического языка Средневековья и Нового времени, с которого начались механический, а за ним электронный способ вычислений, рождение компьютеров и теории информации. В наше время алгоритм стал фактом реальности. Через него мы начинаем понимать реальность символической материи, реальность в прямом смысле этого слова. Символический материал существует в природе сам по себе, без человека. Алгоритмы не только диктуют, а и предугадывают наши желания, они принимают на себя ответственность за то, какую музыку мы слушаем, какие фильмы выбираем, какие отношения устанавливаем в социальных сетях. В заключительной главе книги рассмотрены исключительное влияние алгоритмов на нашу жизнь и прогнозы четвертой промышленной революции.

Подготовлено на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий и кафедре математических методов исследования операций факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Учебное пособие затрагивает специальные разделы математики: математическая логика и теории автоматов, алгебра высказываний, исчисление высказываний, элементы теории алгоритмов, регрессионный анализ, методы оптимизации. Каждый раздел заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки. Пособие содержит лабораторный комплекс и ряд инженерных задач с акцентом на программную реализацию методов вычислительной математики.

В статье приводится сравнительный анализ результатов расчета по восьми формулам общего расхода наносов по данным наблюдений на пятнадцати гидрометрических створах, расположенных на водотоках США. Лучший результат показала аналитическая формула расхода наносов, являющаяся следствием основного уравнения движения воды и твердого вещества в речном потоке.

Посвящено теории счетчиковых машин, представляющих собой абстрактные математические модели вычислений. Затрагивает интересные факты из теорий вычислимости и сетей Петри, не вошедшие в известные классические монографии. Основное внимание уделяется счетчиковым машинам «малой размерности», т.е. машинам, содержащим один, два или три счетчика. Наибольший интерес представляют занимающие центральное положение в этом пособии результаты исследований Р. Шреппеля о «чистой» вычислительной способности двухсчетчиковых машин Минского и результаты Дж. Хопкрофта и Ж.-Ж. Пансио о полулинейности множества достижимости двумерных систем векторного сложения с состояниями.