УДК 373.167.1:514+514(075.3)
ББК 22.151я721
М34
Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году
Авторы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев,
Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва
и общественной (заключение РКС № 164-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз.
На учебник получены положительные заключения
научной (заключение РАО № 481 от 14.11.2016 г.),
педагогической (заключение РАО № 170 от 05.10.2016 г.)
Условные обозначения:
25* — пункт, необязательный для изучения на базовом уровне
20 — задача, не являющаяся обязательной на базовом уровне
( — начало материала, необязательного для изучения
на базовом уровне
7 — окончание материала, необязательного для изучения
на базовом уровне
М34
Математика: алгебра и начала математического анализа,
геометрия. Геометрия : 10—11-й классы : базовый и углублённый
уровни : учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев
[и др.]. — 12-е изд., стер. — Москва : Просвещение,
2024. — 287, [1] с. : ил. — (МГУ — школе).
ISBN 978-5-09-112137-7.
Учебник позволяет обеспечить вариативность обучения не только согласно
УДК 373.167.1:514+514(075.3)
ББК 22.151я721
ISBN 978-5-09-112137-7
© АО «Издательство «Просвещение», 2014, 2019
© Художественное оформление.
АО «Издательство «Просвещение», 2014, 2019
Все права защищены
.
системе условных обозначений, но и благодаря хорошо подобранной системе
задач, включающей типовые задачи к каждому параграфу, дополнительные задачи
к главе и задачи повышенной трудности.
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Б
Стр.3
Оглавление
Введение
1. Предмет стереометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Аксиомы стереометрии .................................... 4
3. Некоторые следствия из аксиом............................. 6
Вопросы и задачи ........................................... 7
Глава I
Параллельность прямых и плоскостей
§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости................... 9
4. Параллельные прямые в пространстве ....................... —
5. Параллельность трёх прямых............................... 10
6. Параллельность прямой и плоскости ........................ 11
Вопросы и задачи ........................................... 13
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Угол между двумя прямыми.................................. 15
7. Скрещивающиеся прямые.................................. —
8. Углы с сонаправленными сторонами......................... 17
9. Угол между прямыми ..................................... 18
Вопросы и задачи ........................................... 19
§ 3. Параллельность плоскостей................................... 21
10. Параллельные плоскости ................................. —
11. Свойства параллельных плоскостей ........................ 22
Вопросы и задачи ........................................... 23
§ 4. Тетраэдр и параллелепипед ................................... 25
12. Тетраэдр................................................ —
13. Параллелепипед ......................................... 26
14. Задачи на построение сечений ............................. 28
Задачи .................................................... 31
Вопросы к главе I........................................... 33
Дополнительные задачи ...................................... 34
Глава II
Перпендикулярность прямых и плоскостей
§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости ...................... 36
15. Перпендикулярные прямые в пространстве .................. —
16. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости ....... —
.
282 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Б
Стр.283
17. Признак перпендикулярности прямой и плоскости ........... 38
18. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости ........... 40
Задачи .................................................... 41
§ 2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. . . 43
19. Расстояние от точки до плоскости.......................... —
20. Теорема о трёх перпендикулярах........................... 44
21. Угол между прямой и плоскостью.......................... 45
Задачи .................................................... 47
§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей .............. 50
22. Двугранный угол ........................................ —
23. Признак перпендикулярности двух плоскостей .............. 52
24. Прямоугольный параллелепипед .......................... 53
25*. Трёхгранный угол ...................................... 55
26*. Многогранный угол ..................................... 56
Задачи .................................................... 57
Вопросы к главе II .......................................... 60
Дополнительные задачи ...................................... 61
Глава III
Многогранники
§ 1. Понятие многогранника. Призма .............................. 63
27. Понятие многогранника .................................. —
28*. Геометрическое тело .................................... 64
29*. Теорема Эйлера......................................... 65
30. Призма................................................. 67
31*. Пространственная теорема Пифагора ...................... 68
Задачи .................................................... 70
§ 2. Пирамида.................................................. 72
32. Пирамида .............................................. —
33. Правильная пирамида .................................... 73
34. Усечённая пирамида ..................................... 74
Задачи .................................................... 75
§ 3. Правильные многогранники .................................. 78
35. Симметрия в пространстве ................................ —
36. Понятие правильного многогранника ....................... 80
37. Элементы симметрии правильных многогранников ........... 83
Практические задания ....................................... 84
Вопросы и задачи ........................................... —
Вопросы к главе III ......................................... 85
Дополнительные задачи ...................................... 86
.
283 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Б
Стр.284
Глава IV
Цилиндр, конус и шар
§ 1. Цилиндр................................................... 89
38. Понятие цилиндра ....................................... —
39. Площадь поверхности цилиндра ........................... 91
Задачи .................................................... 92
§ 2. Конус ..................................................... 94
40. Понятие конуса ......................................... —
41. Площадь поверхности конуса .............................. 95
42. Усечённый конус ........................................ 96
Задачи .................................................... 98
§ 3. Сфера ..................................................... 100
43. Сфера и шар ............................................ —
44. Взаимное расположение сферы и плоскости ................. 101
45. Касательная плоскость к сфере ............................ 102
46. Площадь сферы ......................................... 103
47*. Взаимное расположение сферы и прямой ................... 104
48*. Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность ........... 105
49*. Сфера, вписанная в коническую поверхность ............... 106
50*. Сечения цилиндрической поверхности ..................... 107
51*. Сечения конической поверхности ......................... 108
Задачи .................................................... 110
Вопросы к главе IV ......................................... 111
Дополнительные задачи ...................................... 112
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар ......... 114
Глава V
Объёмы тел
§ 1. Объём прямоугольного параллелепипеда........................ 116
52. Понятие объёма ......................................... —
53. Объём прямоугольного параллелепипеда .................... 118
Задачи .................................................... 120
§ 2. Объёмы прямой призмы и цилиндра ........................... 121
54. Объём прямой призмы.................................... —
55. Объём цилиндра ......................................... 122
Вопросы и задачи ........................................... 124
§ 3. Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса ................ 125
56. Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла —
57. Объём наклонной призмы ................................. 126
.
284 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Б
Стр.285
58. Объём пирамиды ........................................ 128
59. Объём конуса ........................................... 129
Задачи .................................................... 130
§ 4. Объём шара и площадь сферы ................................ 133
60. Объём шара............................................. —
61. Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора 134
62*. Площадь сферы ........................................ 135
Вопросы и задачи ........................................... 137
Вопросы к главе V .......................................... 138
Дополнительные задачи ...................................... —
Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар ......... 140
Глава VI
Векторы в пространстве
§ 1. Понятие вектора в пространстве .............................. 142
63. Понятие вектора......................................... —
64. Равенство векторов ...................................... 143
Вопросы и задачи ........................................... 144
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число . . . 145
65. Сложение и вычитание векторов ........................... —
66. Сумма нескольких векторов ............................... 146
67. Умножение вектора на число .............................. 147
Задачи .................................................... 148
§ 3. Компланарные векторы ...................................... 150
68. Компланарные векторы................................... —
69. Правило параллелепипеда................................. 151
70. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам....... 152
Вопросы и задачи ........................................... 153
Вопросы к главе VI ......................................... 156
Дополнительные задачи ...................................... 157
Глава VII
Метод координат в пространстве. Движения
§ 1. Координаты точки и координаты вектора....................... 160
71. Прямоугольная система координат в пространстве ........... —
72. Координаты вектора ..................................... 161
73. Связь между координатами векторов и координатами точек . . . 163
74. Простейшие задачи в координатах ......................... 164
75. Уравнение сферы ........................................ 166
Вопросы и задачи ........................................... —
.
285 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Б
Стр.286
§ 2. Скалярное произведение векторов ............................. 171
76. Угол между векторами ................................... —
77. Скалярное произведение векторов .......................... —
78. Вычисление углов между прямыми и плоскостями ........... 173
79*. Уравнение плоскости .................................... 174
Задачи .................................................... 176
§ 3. Движения ................................................. 180
80. Центральная симметрия .................................. —
81. Осевая симметрия ....................................... 181
82. Зеркальная симметрия ................................... 182
83. Параллельный перенос ................................... —
84*. Преобразование подобия ................................. 183
Задачи .................................................... 185
Вопросы к главе VII ......................................... 186
Дополнительные задачи ...................................... 187
Задачи для повторения ...................................... 189
Задачи повышенной трудности ................................ 190
Глава VIII*
Некоторые сведения из планиметрии
§ 1. Углы и отрезки, связанные с окружностью ..................... 194
85. Угол между касательной и хордой ......................... —
86. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью .......... 195
87. Углы с вершинами внутри и вне круга ..................... 196
88. Вписанный четырёхугольник .............................. 198
89. Описанный четырёхугольник .............................. 200
Задачи .................................................... 201
§ 2. Решение треугольников ...................................... 202
90. Теорема о медиане ....................................... —
91. Теорема о биссектрисе треугольника........................ 204
92. Формулы площади треугольника........................... 206
93. Формула Герона ......................................... 207
94. Задача Эйлера........................................... 208
Задачи .................................................... 212
§ 3. Теоремы Менелая и Чевы .................................... 214
95. Теорема Менелая ........................................ —
96. Теорема Чевы ........................................... 216
Задачи .................................................... 218
§ 4. Эллипс, гипербола и парабола ................................ 219
97. Эллипс ................................................. —
98. Гипербола .............................................. 223
99. Парабола ............................................... 226
Задачи .................................................... 228
.
286 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Б
Стр.287
Задачи для подготовки к ЕГЭ .................................... 229
Задачи с практическим содержанием .............................. 240
Исследовательские задачи ....................................... 242
Темы рефератов и докладов ...................................... 244
Список литературы ............................................. 245
Приложения
1. Изображение пространственных фигур .......................... 246
1. Параллельная проекция фигуры ............................ —
2. Изображение фигуры ..................................... 247
3. Изображение плоских фигур ............................... 248
4. Изображение пространственных фигур ....................... 250
2. Об аксиомах геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Ответы и указания ............................................. 261
Предметный указатель .......................................... 278
.
287 Оглавление
© АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЦКБ «БИБКОМ»
Б
Стр.288