УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73
Д79
Р е ц е н з е н т ы :
д-р физ.-мат. наук, проф. Челябинского государственного
университета В.Е. Федоров;
канд. физ.-мат. наук, проф. Магнитогорского государственного
университета Т.К. Плышевская;
доцент Магнитогорского государственного университета Л.Н. Малышева
Дубровский В.В.
Д79
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения
[Электронный ресурс] : учеб. пособие / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко,
В.В. Дубровский. – 2-е изд. стер. — М. : ФЛИНТА, 2020. —
180 с.
ISBN 978-5-9765-2197-1
Курс обыкновенных дифференциальных уравнений является одним
из важных разделов современной математики и имеет большое значение в
современном математическом образовании. Данное учебное пособие
посвящено вопросам существования и единственности решения задачи
Коши для дифференциального уравнения вида y′ = f (x, y), зависимости
решения от параметров, интегрированию некоторых уравнений первого
и n-го порядка в квадратурах. Рассматриваются методы нахождения
аналитических решений систем линейных дифференциальных уравнений
и систем с постоянными коэффициентами. Пособие содержит большое
число подробно решенных примеров различного уровня сложности,
что способствует глубокому усвоению теории.
Для студентов университетов математических и физических
факультетов.
УДК 510(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 978-5-9765-2197-1
© Издательство «ФЛИНТА», 2015
© Дубровский В.В., Кадченко С.И.,
Дубровский В.В., 2015, 2015
Стр.2
`,j g,] pse l g
9W O E9O ;
PRH
"
*X
S!C S!T H O W 9T }Ud@BC O E9T S!T H 5
"
"
"
"
"
"
| |%7 |~ . N$
PN$ '' O
8, s
O!PRO!Q HA@ C H E9D P15 LH S GVD9A; }G T D9E9S!T T }U
(=9 O s PN$ ''~
U
5
6y ''
PN$ '
4$ L s
& lX 5
& )
y9
| 4
y9 8 } L^ :
xy9z
%' } |%7 ^
9W O E9O ?;
"
"
¨
"
"
"
"
¨
R
/
!%' s5
%'
~
8 a
<% 8 ! y9
s #
T
U1WYX Z[R \
8, 1
8, | |%7 |~
O
%
8
®
5 xy' }
('9 | |%7
|
@BC O E9T S!T H I S!C E9D
%' # #s (
S
T
%' y
U1WYX Z[R \
A LH S) S!D9C S!U
u }/ } O
D
L 1 PN$ %' # #s (
6y9z
5
D9Ca5?PRG9O
D C S 3LS!T H 5
PRH
S!C S!T H O W 9T
)R S TQU1WYX Z[R \
PN$
6y9z
(
5
& ¨
%' # #s (
/
(
4$ # #s (
u }
"
& X) y' |%' !
"
"
"
¨
9W O E9O ®?;BK T S C H C D9E9O T H S T S!G?D; D9C
| *X
? R
8,
~
@BC O E9T S!T H I{E G E9O!PRC O
"
"
"
"
4$ # #s (
4$ # #s (
^+X
6y9z s
*X 8, s PN$ ( (jY
* %'
%'
" & 4$ # #s (
%'
"
%'
" & $$ # #s (
*X
"
"
"
"
"
X
|
4$ # #s (
1
$ # #s (
y9 $R
5
s s x%' xy
6y9z s
@BC O
} |
s PN$
%' # #s (
uR
u 4 N$ 6y9
uR 4 .#
z
(
z PN$ 4
6y9z
5
u *X 5 6%7 } &%'
[L^ u
6y9z
^
5
6y9z s
$#
O &%
(
ML
)R S TQU1WYX Z[R \
PN$
M
PN$ X%' # #s (
xy9z <
s
5
~
U1WYX Z[R \
6y9z
%' Q
5
!%' '
R S TQU1WYX Z[R \
)R S WYXa\-T
uR
PN$
U1WYX Z[R \
PRH
S!C S!T H O W 9T
R
%' # #s (
^
O
6y9z Y
uR
5
R
S TQU1WYXa\
S TQU1W R \
uR
®
8,uR
6y9z
<% 8 4 8<%
,
5 X
!%'
!
O %'
6y9z 8, s
6y9z 8,
%'
('9 %' uR8, 1
('
%'
PN$ uR8, <
%' 8,u
xy9z
%' # #s (
6y9z s
$ # #s (
6
l
6y9z s
$ # #s (
5
6y9z s
5
&^ O
6y9z s
Y y y9
6y9z }
1 R
&^ O
uR bL^ xy9z 9/
5
!
1
5
!%'
^
y9 8<% %' # #s (
uR bL^ xy )
$ N 1
8
`% bL %' xv
6y' `%a
Стр.177
"
"
"
"
$ # #s (
& *X
*X 8, s PN$ 4 5
$ # #s (
5
9W O E9O² ;
"
"
"
"
*X O 1
9W O E9O ?;L>LH
] & "
] &"
] &"
] & "
*X O
] & " & ^+X
] & "
^+X
4$ # #s (
*X O
'
~
PN$
" & *X O s 5
"jY uRuR
l
5
%' # #s (
6y9z 8, 1
6y9z 8, s
( y9 !%'
6y9z
6y9z s
<% 8
~
5
6y9z 8,
^
O suR bL
y9 } 5
8<%
$ L )
&%)#
4
( ( ajY &%' 1 !
Y xy ( 7/
$ N
^ Y xy
<% 8
J
H
F
u 6y9z 8, s
S!U
PRH
S!C S!T H O W 9T
6y98
s PN$
~ 8, $
u 6y9z
uR8
%' # #s (
6y9z
@BC O E9T S!T H I
<% 8
-
6y98
uRuR
uR8
%' # #s (
u
~
<% 8
6y9z
u
<% 8
S!C S!T H O W 9T }S4@BC O E9T S!T H 5
%' # #s (
6y9z
uR8 PN$
s !%7 U1WYX Z[R © ~jª Z[R
] & " & ^+X
s !%7 U1W R Z[R S8ZTrTrTrdZ[R © sQª \-T%t
6y9z s
9 '
©
~
U1WYX Z[R Z[R
] &"
] & "
+X
*X
5 uR
O
S
0rTrTr'
s !%7 U1WYX Z[R Z[R
dZ[R © sQª \Y %'
1 ~
vw %'
R
Z[R
S
TrTrTrZ
<% 8 4
%'
dZ[R © sQª
S
%' }
TrTrTrZ
dZ[R © sQª \-TGt Z
qmª ZTrTrTrdZ[R © sQª \-TGt
R
© sQª WYXa\
5
_;B
"_9vw5
D
D9Ca5?PRG9O
!%' $ 5
|
s PN$
<% 8
U1WYXa\ Tt
|
|
|
|
xy9z
5 %' #
(
|
%' 8<%
9W O E9O ?;64H T S!I T }SsPRH
"
"
"
"
\¨
-Y
"
" & /
#
"
/
!%7 uR | 6y9z 8,
u } O
S!C S!T H O W 9T }S1@BC O E9T S!T H 5
4 &%'
( '"$ uN y' 1 y y
uR8
!%7 uR | 6y9z 4 uR #
y9
" &
%' # #s (
%
5
%' # #s (
e %
L
5
,
$ N
6y9z
$ $ L
!%'
6y9z
PN$
5
PN$ 4 %'
y9
5
PN$
_;B
D
D9Ca5?PRG9O >
%' # #s (
v *X
%' # #s (
( :
%'
6y9z
5 |%' ! 5
6
5 V
6
5 }y9
6y9z
5 s
5
6
6
5
%'
%'
5
y9
5
9W O E9O -7;(64H T S!I T }S PRH
D9Ca5?PRG9O F
] & "
] & "
* %'
D'F
%'
&5 D
T T }U H
] & "
] & "
y95
)_9vw5 }
1
PN$
] &" & 9 !
%L
8, X%' # #s (
)_9vw5 }
u
4 ! y9
8,
4 s
%'
&%' xy9
%'
S!C S!T H O W 9T }S4@BC O E9T S!T H 5
G?D
PN$ 4 %'
!%' }
%' Ly9
H
H S!T
!%' }
%'
|
y9 bL
|
%' 8<% y9
<% 8 4 ! cd# #s (
6y9z 8, 1
|
5 $%' # #s (
8,uR ! cd# #s (
8, L%' # #s (
O U H
_;B
D
8,uR ! cd# #s (
8,uR 4 ! cd# #s (
xy9z
8,u
Xy9
<% 8 <%' # #s (
< 8,
(
<% 8 X%' # #s (
| uR
u
y9
6y9z
5
| uR
6y9z 8,
c®
| uR
6y9z
~
<% 8
<% 8
6y9z
<% 8 s v
!
Стр.178
9W O E9O ?; 7 D9C U O W 9T }S F H F
@BC O E9T S!T H I S!C E9D
"
"
"
"
y95
/
"
*X
!%7 uR | 6y9z
~
D
D9Ca5?PRG9O
S!U
5 |%' ! 5
u
W H T S!I T
PRH
} PN$
S!C S!T H O W 9T
PN$ ( s"$ uN y' 1 y y
%'
%'
uR8
%'
uR
%'
%'
PN$
%' Xy9
1 uR8
#
C
K²
!%7 uR | 6y9z v
y9
u
9W O E9O ?;
@BC O E9T S!T H I S!C E9D
G?D
"
"
J
H F D9G W H
"
1
H
H S!T
/
!%' } s
8, #
7 D9C U O W 9T }S4F H F
O U H
D
D9Ca5?PRG9O F
S!U
4
S!C O
~
$ N 1 8
|
@BC
)c !
uR8
W H T S!I T
8,uR 4 ! cd# #s (
%' # #s (
| V
~ 4 ! |
D'F
&5 D
T T }U H
PRH
S!C S!T H O W 9T
6y9z
| uR $
<% 8 {
5
>
Стр.179