Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятностей 2.1. <...> Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин 5.1. <...> Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения 5.2. <...> Вариационные ряды и их графическое изображение 8.2. <...> Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции регрессии 8 395 12.1. <...> Такие исходы называются элементарными исходами, случаями или шансами3. <...> Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е. PA w A n == w(A) — относительная частота (частость) события А; m — число испытаний, в которых появилось событие А; n — общее число испытаний. <...> Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота (частость) события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа. <...> Так, например, в опытах Бюффона (XVIII в.) относительная частота (частость) появления герба при 4040 подбрасываниях монеты оказалась равной 0,5069, в опытах Пирсона (XIX в.) при 23 000 подбрасываниях — 0,5005, практически не отличаясь от вероятности этого события, равной 0,5. <...> Оказывается, иногда этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.) <...> Полагая, что вероятность события А — попадания брошенной точки на фигуру g — пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, найдем PA S S () тию А. <...> Найдем вероятность противоположного события A — дни рождения всех студентов различны. <...> Ниже (§ 1.12) рассматривается теоретико-множественная трактовка основных понятий теории вероятностей. <...> Теорема сложения вероятностей Сформулируем теорему (правило) с л о ж е н и я вероятностей. <...> Следует еще раз подчеркнуть, что рассмотренная теорема <...>
Теория_вероятностей_и_математическая_статистика._3-е_изд.,_перераб._и_доп._Учебник._Гриф_МО_РФ._(Серия_Золотой_фонд_российских_учебников).pdf
УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171ÿ73-1+22.172ÿ73-1
Ê79
Рецензен ты:
кафедра математической статистики и эконометрики
Московского государственного университета экономики,
статистики и информатики (МЭСИ)
(çàâ. кафедрой ä-ð ýêîí. íàóê, ïðîô. Â.Ñ. Ìõèòàðÿí);
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â.Ô. Ãàïîøêèí;
êàíä. òåõí. íàóê, äîö. Ã.Ë. Эпштейн
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили,
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор,
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники
Кремер, Наум Шевелевич.
К79 Теория вероятностей и математическая статистика:
учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим
специальностям / Í.Ø. Êðåìåð. — 3-å èçä., ïåðåðàá.
и äîï. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, — 551 ñ. — (Ñåðèÿ
«Золотой фонд российских учебников»).
2015.
ISBN 978-5-238-01270-4
Агентство CIP РГБ
Эта книга не только учебник, но и краткое руководство к решению задач.
Излагаемые основы теории вероятностей и математической статистики сопровождаются
большим количеством задач (в том числе экономических), приводимых
с решениями и для самостоятельной работы. При этом упор делается на
основные понятия курса, их теоретико-вероятностный смысл и применение.
Приводятся примеры использования вероятностных и математикостатистических
методов в задачах массового обслуживания и моделях
финансового рынка.
Для студентов и аспирантов экономических специальностей и направлений,
а также преподавателей вузов, научных сотрудников и экономистов.
ББК
22.171ÿ73-1+22.172ÿ73-1
ISBN 978-5-238-01270-4 © Í.Ø. Êðåìåð, 2000, 2003, 2007
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2000, 2003, 2007
Принадлежит исключительное право на использование
и распространение издания.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
любыми средствами или в какой-либо форме, в
том числе в Интернет-сети, запрещается без
письменного разрешения издательства.
© Оформление «ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ», 2007
Стр.5
Оглавление
Предисловие 10
Введение 12
Раздел 1. Теория вероятностей
Глава 1. Основные понятия и теоремы теории
вероятностей
1.1. Классификация событий
1.2. Классическое определение вероятности
1.3. Статистическое определение вероятности
1.4. Геометрическое определение вероятности
1.5. Элементы комбинаторики
1.6. Непосредственное вычисление вероятностей
1.7. Действия над событиями
1.8. Теорема сложения вероятностей
1.9. Условная вероятность события. Теорема умножения
вероятностей. Независимые события
1.10. Решение задач
1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Упражнения 61
Глава 2. Повторные независимые испытания
1.12. Теоретико-множественная трактовка основных понятий
и аксиоматическое построение теории вероятностей
2.1. Формула Бернулли
2.2. Формула Пуассона
2.3. Локальная и интегральная формулы Муавра—Лапласа
2.4. Решение задач
Упражнения 84
Глава 3. Случайные величины
2.5. Полиномиальная схема
3.1. Понятие случайной величины. Закон распределения
дискретной случайной величины
3.2. Математические операции над случайными величинами
3.3. Математическое ожидание дискретной случайной величины
3.4. Дисперсия дискретной случайной величины
3.5. Функция распределения случайной величины
3.6. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
5
87
87
91
94
98
103
106
56
68
68
71
72
78
82
15
16
16
18
20
22
23
27
33
36
37
45
51
Стр.6
3.7. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин.
Асимметрия и эксцесс
3.8. Производящая функция
3.9. Решение задач
4.1. Биномиальный закон распределения
4.2. Закон распределения Пуассона
4.3. Геометрическое распределение и его обобщения
4.4. Гипергеометрическое распределение
4.5. Равномерный закон распределения
4.6. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
4.7. Нормальный закон распределения
4.8. Логарифмически-нормальное распределение
4.9. Распределение некоторых случайных величин, представляющих
функции нормальных величин
5.1. Понятие многомерной случайной величины
и закон ее распределения
5.2. Функция распределения многомерной случайной величины
5.3. Плотность вероятности двумерной случайной величины
5.4. Условные законы распределения. Числовые характеристики
двумерной случайной величины. Регрессия
5.5. Зависимые и независимые случайные величины
5.6. Ковариация и коэффициент корреляции
5.7. Двумерный (n-мерный) нормальный закон распределения
5.8. Функция случайных величин. Композиция законов
Глава 6. Закон больших чисел и предельные
теоремы
6.1. Неравенство Маркова (лемма Чебышева)
6.2. Неравенство Чебышева
6.3. Теорема Чебышева
6.4. Теорема Бернулли
6.5. Центральная предельная теорема
114
119
121
Упражнения 133
Глава 4. Основные законы распределения
141
141
145
148
150
152
154
158
167
169
Упражнения 172
Глава 5. Многомерные случайные величины
175
175
179
182
188
192
195
202
распределения 207
Упражнения 213
218
218
220
223
229
231
Упражнения 236
6
Стр.7
Глава 7. Элементы теории случайных процессов
и теории массового обслуживания
7.1. Определение случайного процесса и его характеристики
238
238
7.2. Марковские случайные процессы с дискретными состояниями 241
7.3. Основные понятия теории массового обслуживания
7.4. Потоки событий
7.5. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний
7.6. Процессы гибели и размножения
7.7. СМО с отказами
Упражнения 263
Раздел II. Математическая статистика
7.8. Понятие о методе статистических испытаний
(методе Монте-Карло)
261
266
Глава 8. Вариационные ряды и их характеристики 267
8.1. Вариационные ряды и их графическое изображение
8.2. Средние величины
8.3. Показатели вариации
8.4. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии
8.5. Начальные и центральные моменты вариационного ряда
Глава 9. Основы математической теории
выборочного метода
9.1. Общие сведения о выборочном методе
9.2. Понятие оценки параметров
9.3. Методы нахождения оценок
9.4. Оценка параметров генеральной совокупности
по собственно-случайной выборке
9.5. Определение эффективных оценок с помощью
неравенства Рао—Крамера—Фреше
9.6. Понятие интервального оценивания. Доверительная
вероятность и предельная ошибка выборки
9.7. Оценка характеристик генеральной совокупности
по малой выборке
10.1. Принцип практической уверенности
10.2. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки
10.3. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более
267
272
275
279
281
Упражнения 284
286
286
289
293
297
305
308
318
Упражнения 327
Глава 10. Проверка статистических гипотез
совокупностей 339
7
330
330
331
245
246
250
254
256
Стр.8
10.4. Проверка гипотез о равенстве долей признака в двух
и более совокупностях
10.5. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух
и более совокупностей
10.6. Проверка гипотез о числовых значениях параметров
10.7. Построение теоретического закона распределения по
опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения
10.8. Проверка гипотез об однородности выборок
10.9. Понятие о проверке гипотез методом последовательного анализа
11.1. Однофакторный дисперсионный анализ
11.2. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе
345
348
352
357
366
372
Упражнения 375
Глава 11. Дисперсионный анализ
379
379
387
Упражнения 393
Глава 12. Корреляционный анализ
12.2. Линейная парная регрессия
12.3. Коэффициент корреляции
12.4. Основные положения корреляционного анализа.
Двумерная модель
12.5. Проверка значимости и интервальная оценка
параметров связи
12.6. Корреляционное отношение и индекс корреляции
12.7. Понятие о многомерном корреляционном анализе.
Множественный и частный коэффициенты корреляции
12.8. Ранговая корреляция
13.1. Основные положения регрессионного анализа.
Парная регрессионная модель
13.2. Интервальная оценка функции регрессии
13.3. Проверка значимости уравнения регрессии.
Интервальная оценка параметров парной модели
13.4. Нелинейная регрессия
13.5. Множественный регрессионный анализ
13.6. Ковариационная матрица и ее выборочная оценка
13.7. Определение доверительных интервалов
для коэффициентов и функции регрессии
8
395
12.1. Функциональная, статистическая и корреляционная
зависимости 395
398
406
412
415
419
424
429
Упражнения 436
Глава 13. Регрессионный анализ
439
439
441
446
450
454
462
464
Стр.9
13.8. Оценка взаимосвязи переменных. Проверка значимости
уравнения множественной регрессии
13.10. Понятие о других методах многомерного
статистического анализа
14.1. Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа
14.2. Стационарные временные ряды
и их характеристики. Автокорреляционная функция
14.3. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного
ряда (выделение неслучайной компоненты)
14.4. Временные ряды и прогнозирование.
Автокорреляция возмущений
14.5. Авторегрессионная модель
Глава 15. Линейные регрессионные модели
финансового рынка
15.1. Регрессионные модели
15.2. Рыночная модель
15.3. Модели зависимости от касательного портфеля
15.4. Неравновесные и равновесные модели
15.5. Модель оценки финансовых активов (САРМ)
15.6. Связь между ожидаемой доходностью и риском
оптимального портфеля
15.7. Многофакторные модели
15.8. Многофакторная модель оценки финансовых активов
Библиографический список
Ответы к упражнениям
Приложения. Математико-статистические таблицы
Предметный указатель
468
13.9. Мультиколлинеарность 472
474
Упражнения 476
Глава 14. Введение в анализ временных рядов
479
479
481
484
488
494
Упражнения 495
497
497
499
500
503
505
506
507
509
511
513
530
539
9
Стр.10