ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Производная сложной функции @A @ A то y f Если yf u,, ' @A u aa a u x cx uv u @A a u v ; a E ' uv uv v 2 01 a @A @ '' ' aC Ca C'' ;'v cu cu uv u v uv A' a y Ca aC h yy fx x h @A yf @A a x yf x Ea xE00 0 Уравнение касательной @A @A@x f ' x A @A @A @A sin cos tg x @A ctg x xx xx a aE a aE cos sin 1 cos x 2 1 sin x 2 Свойство инвариантности дифференциала @A @ A то dyf u Если yf u aa a,, ' @A du u x yf @A a x 0 x hx dy f x x dx a a @Ahhx Дифференциал ; xx Ch @A @A arcsin arccos arctg arcctg @A @A x ' a 1 1E x x ' aE x ' a 1 x ' aE 2 1 1C x 1E x 2 1 1C x 2 2 x hh dy yf x x fx aC E E @A @A Производная y a lim ; hx0 h h y x y a tg u @A @A @A @ A xnx x nnE1 a ' ' a ee 2 1 11 aE 2 xx x a x '' x a @A @A; log a x xa ln x aa a 'aa'11 ln ;; ;ln x ' x x Для дифференцируемой функции hh hx h ' 0 yf x x@A @ AaC x ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Практикум Под редакцией профессора Н.Ш. Кремера Второе издание, переработанное и дополненное <...>
Высшая_математика_для_экономистов._Практикум._2-е_изд.,_перераб.и_доп._Учеб._пособие._Гриф_МО_РФ._Гриф_УМЦ_Профессиональный_учебник._(Серия_Золотой_фонд_российских_учебников).pdf
УДК 51(076.5)
ББК 22.1ÿ73-5
Â93
Рец ензе нт ы:
кафедра высшей математики Московского
государственного университета экономики, статистики и информатики
(çàâ. кафедрой ïðîô. Â.À. Íèêèøêèí);
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. À.È. Самыловский
(Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова)
Главный редактор издательства кандидат юридических наук,
доктор экономических наук Н.Д. Эриашвили
Высшая математика для экономистов: Практикум для стуВ93
дентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям
/ [Í.Ø. Кремер и äð.]; под ðåä. ïðîô. Í.Ø. Êðåìåðà. —
2-å èçä., ïåðåðàá. и äîï. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, — 479 ñ. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников»).
I. Кремер, Наум Шевелевич.
2015.
ISBN 978-5-238-01122-6
Агентство CIP РГБ
Практикум дополняет учебник «Высшая математика для экономистов»
(ÞÍÈÒÈ — 1997, 1998, 2006) и вместе с ним составляет учебный êîìïëåêñ.
Практикум содержит около 2700 задач (с решениями и для самостоятельной
работы), в том числе задачи с экономическим содержанием. Существенное
отличие его от других изданий — наличие наряду с традиционными контрольными
заданиями (63 âàðèàíòà, более 400 çàäà÷) тестовых заданий (28
тестов, более 400 тестовых заданий). Это позволяет достаточно эффективно
использовать пособие в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов,
при проведении контрольных работ, собеседований, зачетов и экзаменов
(в частности, письменных), тестировании (в том числе компьютерном) по
вузовскому общему курсу математики.
В новое издание (предыдущее — ЮНИТИ, 2002) дополнительно включены
задачи для повторения, рекомендуемые для экспресс-подготовки студентов
и учебно-тренировочные тесты для экспресс-проверки их знаний.
Для студентов и бакалавров экономических специальностей вузов, а также
магистров этих специальностей, преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием.
ББК
22.1ÿ73-5
ISBN 978-5-238-01122-6
© Коллектив àâòîðîâ, 2002, 2007
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2002, 2007
Воспроизведение всей книги или любой ее
части любыми средствами или в какой-либо
форме, в том числе в Интернет-сети, запрещается
без письменного разрешения издательства.
Стр.4
Оглавление
Предисловие
Раздел I. Линейная алгебра (с элементами
аналитической геометрии)
Глава 1. Матрицы и определители
1.1. Матрицы и операции над ними
1.2. Определители квадратных матриц. Обратная матрица
1.3. Ранг матрицы. Линейная независимость строк
(столбцов) матрицы
1.4. Задачи с экономическим содержанием
Задача для повторения
Глава 2. Системы линейных уравнений
2.1. Система n линейных уравнений с n переменными
2.2. Система m линейных уравнений с n переменными
2.3. Метод Жордана—Гаусса
2.4. Системы линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений
2.5. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Задача для повторения
Контрольные задания по главе 2 «Системы линейных
уравнений»
Тест 2
Глава 3. Элементы матричного анализа
3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
3.3. Линейные операторы
3.4. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора (матрицы)
3.5. Квадратичные формы
3.6. Линейная модель обмена (модель
международной торговли)
Задача для повторения
Контрольные задания по главе 3 «Элементы
матричного анализа»
Тест 3
Глава 4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
4.1. Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости
4.2. Кривые второго порядка
4.3. Прямая и плоскость в пространстве
Задача для повторения
475
3.2. n-мерный вектор и векторное пространство.
Евклидово пространство
3
6
6
6
11
19
23
28
Контрольные задания по главе 1 «Матрицы и определители» 30
Тест 1
32
34
35
42
44
48
50
55
57
59
61
61
69
78
82
87
92
94
96
97
99
99
110
118
127
Стр.478
Контрольные задания по главе 4 «Уравнение линии.
Прямая и плоскость»
Тест 4
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «линейная алгебра
(с элементами аналитической геометрии)» (разделу I)
Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)»
(ðàçäåëó I)
Итоговый тест ЛА
Раздел II. Введение в анализ
Глава 5. Функция
Контрольные задания по главе 5 «Функция»
Задача для повторения
Тест 5
Глава 6. Пределы и непрерывность
6.1. Определение предела. Простейшие пределы
6.2. Раскрытие неопределенностей различных типов
6.3. Замечательные пределы
6.4. Применение эквивалентных бесконечно малых
к вычислению пределов
6.5. Непрерывность функции и точки разрыва
Задача для повторения
Раздел III. Дифференциальное исчисление
Глава 7. Производная
7.1. Определение производной
7.2. Правила дифференцирования. Производные
элементарных функций
7.3. Геометрические и механические приложения
производной
7.4. Предельный анализ экономических процессов
Задача для повторения
Контрольные задания по главе 7 «Производная»
Тест 7
Глава 8. Приложение производной
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
8.2. Правило Лопиталя
8.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции
8.4. Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба
8.5. Асимптоты. Исследование функций и построение
их графиков
8.6. Применение производной в задачах с экономическим
содержанием
Задача для повторения
476
129
131
133
140
142
145
145
152
153
154
156
158
160
169
174
176
179
Контрольные задания по главе 6 «Пределы и непрерывность» 181
Тест 6
184
184
186
194
198
204
206
208
210
210
212
216
222
224
233
237
182
184
Стр.479
Контрольные задания по главе 8 «Приложение производной» 238
Тест 8
Глава 9. Дифференциал функции
Задача для повторения
239
242
246
Контрольные задания по главе 9 «Дифференциал функции» 247
Тест 9
Учебно-тренировочные тесты по дисйиплине «математический анализ»,
часть 1 (ðàçäåëàì II, III).
Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Математический àíàëèç», часть 1 (ðàçäåëàì II, III)
Итоговый тест МА—1
Раздел IV. Интегральное исчисление и дифференциальные
уравнения
Глава 10. Неопределенный интеграл
10.1. Непосредственное интегрирование
10.2. Метод замены переменной
10.3. Метод интегрирования по частям
10.4. Интегрирование рациональных выражений
248
249
256
258
262
262
263
265
271
275
10.5. Интегрирование некоторых видов иррациональностей 278
10.6. Интегрирование тригонометрических функций
Задача для повторения
281
284
Контрольные задания по главе 10 «Неопределенный интеграл» 285
Тест 10
Глава 11. Определенный интеграл
11.1. Методы вычисления определенного интеграла
286
288
290
11.2. Геометрические приложения определенного интеграла 293
11.3. Несобственные интегралы
301
11.4. Приближенное вычисление определенного интеграла 305
11.5. Использование понятия определенного интеграла
в экономике
Задача для повторения
Глава 12. Дифференциальные уравнения
12.1. Основные понятия
12.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
12.3. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка
12.4. Линейные дифференциальные уравнения первого
порядка
12.5. Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка
12.6. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
12.7. Использование дифференциальных уравнений
в экономической динамике
477
Контрольные задания по главе 11 «Определенный интеграл» 312
Тест 11
307
311
314
316
316
319
321
324
328
331
338
Стр.480
Задача для повторения
Контрольные задания по главе 12 «Дифференциальные
уравнения»
Тест 12
Раздел V. Ряды
Глава 13. Числовые ряды
13.1. Основные сведения о рядах
Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды»
Тест 13
Глава 14. Степенные ряды
14.1. Область сходимости степенного ряда
14.2. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора
14.3. Применение рядов в приближенных вычислениях
Задача для повторения
Контрольные задания по главе 14 «Степенные ряды»
Тест 14
Раздел VI. Функции нескольких переменных
Глава 15. Функции нескольких переменных
15.1. Основные понятия
15.2. Частные производные, градиент, дифференциал
15.3. Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум
15.4. Метод наименьших квадратов
15.5. Двойные интегралы
15.6. Функции нескольких переменных
в экономических задачах
Задача для повторения
Контрольные задания по главе 15 «Функции нескольких
переменных»
Тест 15
Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «математический
àíàëèç», часть 2 (ðàçäåëû IV—VI)
Итоговые контрольные задания по дисциплине
«Математический àíàëèç», часть 2 (ðàçäåëû IV—VI)
Итоговый тест МА—2
Раздел VII. Элементы высшей алгебры
Глава 16. Комплексные числа
Задача для повторения
Контрольные задания по главе 16 «Комплексные числа»
Тест 16
Ответы
478
342
343
344
345
345
345
13.2. Признаки сходимости рядов с положительными членами 349
13.3. Сходимость рядов с членами произвольного знака
Задача для повторения
358
362
363
364
366
366
371
379
386
387
388
390
390
390
393
396
401
406
408
413
415
416
419
425
427
430
430
435
436
437
438
Стр.481