УДК 51(075.8)
ББК 22.1ÿ73
Â93
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Ректор акад. А.Н. Романов
Председатель Научно-методического совета проф. Д.М. Дайитбегов
Ко л лек ти в авт ор ов :
ïðîô. Í.Ø. Кремер (ïðåäèñëîâèå, ââåäåíèå, ãë. 2—7, 9, 13, 14, 16),
äîö. Á.À. Путко (ãë. 8, 15), äîö. È.Ì. Тришин (ãë. 10—12),
äîö. Ì.Í. Фридман (ãë. 1)
Рецензенты:
кафедра математики Финансовой Академии при Правительстве РФ
(çàâ. кафедрой ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. À.Ñ. Солодовников)
и ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â.Ç. Партон
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили,
кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор,
лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники
Высшая математика для экономистов: учебник для
В93 студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям
/ [Í.Ø. Кремер и äð.]; под ðåä. ïðîô.
Í.Ø. Êðåìåðà. — 3-å èçä. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, —
479 ñ. — (Ñåðèÿ «Çîëîòîé фонд российских ó÷åáíèêîâ»)
I. Кремер, Наум Шевелевич.
ISBN 978-5-238-00991-9
Агентство CIP РГБ
Эта книга — не только учебник, но и краткое руководство к решению задач
по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с
необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются
большим количеством задач, приводимых с решениями и для
самостоятельной работы. Там, где это возможно, раскрывается экономический
смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения высшей
математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность
функций, производственные функции, модели динамики и т.п.).
Для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, занимающихся
самообразованием.
ББК 22.1ÿ73
ISBN 978-5-238-00991-9
© Коллектив àâòîðîâ, 1997, 1998, 2006
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 1997, 1998, 2006
Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания
(ÔÇ ¹ 94-ÔÇ от 21 июля 2005 ã.).
Воспроизведение всей книги или любой ее части любыми средствами или в
какой-либо форме, в том числе в интернет-сети, запрещается без письменного
разрешения издательства.
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
ВВЕДЕНИЕ 5
Раздел I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Глава 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1. Основные сведения о матрицах
1.2. Операции над матрицами
1.3. Определители квадратных матриц
1.4. Свойства определителей
1.5. Обратная матрица
1.6. Ранг матрицы
Упражнения
Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Основные понятия и определения
2.2. Система n линейных уравнений с n переменными.
Метод обратной матрицы и формулы Крамера
2.3. Метод Гаусса
9
10
10
12
17
22
26
29
36
38
38
40
44
2.4. Система m линейных уравнений с n переменными 47
2.5. Системы линейных однородных уравнений.
Фундаментальная система решений
2.6. Решение задач
2.7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
(балансовый анализ)
Упражнения
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО АНАЛИЗА
3.1. Векторы на плоскости и в пространстве
3.2. n-мерный вектор и векторное пространство
3.3. Размерность и базис векторного пространства
3.4. Переход к новому базису
3.5. Евклидово пространство
474
56
60
63
63
68
70
74
76
51
53
Стр.476
3.6. Линейные операторы
3.7. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора
3.8. Квадратичные формы
3.9. Линейная модель обмена
Упражнения
Глава 4. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
4.1. Уравнение линии на плоскости
4.2. Уравнение прямой
4.3. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых. Расстояние от точки до прямой
4.4. Окружность и эллипс
4.5. Гипербола и парабола
4.6. Решение задач
4.7. Понятие об уравнении плоскости и прямой
в пространстве
Упражнения
Раздел II. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 5. ФУНКЦИЯ
5.1. Понятие множества
5.2. Абсолютная величина действительного числа.
Окрестность точки
5.3. Понятие функции. Основные свойства функций
5.4. Основные элементарные функции
5.5. Элементарные функции. Классификация функций.
Преобразование графиков
5.6. Применение функций в экономике.
Интерполирование функций
5.7. Решение задач
Упражнения
Глава 6. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
6.1. Предел числовой последовательности
6.2. Предел функции в бесконечности и в точке
6.3. Бесконечно малые величины
6.4. Бесконечно большие величины
6.5. Основные теоремы о пределах. Признаки
существования предела
475
78
82
85
90
92
95
95
96
101
104
108
115
119
121
123
124
124
125
126
129
132
135
139
141
142
142
144
148
151
154
Стр.477
6.6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном
начислении процентов
6.7. Непрерывность функции
6.8. Решение задач
Упражнения
Раздел III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 7. ПРОИЗВОДНАЯ
7.1. Задачи, приводящиеся к понятию производной
157
162
167
175
177
178
178
7.2. Определение производной. Зависимость между
непрерывностью и дифференцируемостью функции 180
7.3. Схема вычисления производной. Основные правила
дифференцирования 183
7.4. Производная сложной и обратной функций
7.5. Производные основных элементарных функций.
Понятие о производных высших порядков
7.6. Экономический смысл производной. Использование
понятия производной в экономике
7.7. Решение задач
Упражнения
Глава 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
8.3. Возрастание и убывание функций
8.4. Экстремум функции
8.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
8.6. Выпуклость функции. Точки перегиба
8.7. Асимптоты графика функции
8.8. Общая схема исследования функций и построения
их графиков
8.9. Решение задач
Глава 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
9.1. Понятие дифференциала функции
186
190
196
201
207
8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления 210
8.2. Правило Лопиталя
210
214
217
219
225
226
230
233
236
8.10. Приложение производной в экономической теории 242
Упражнения
243
246
246
9.2. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях 248
9.3. Понятие о дифференциалах высших порядков
Упражнения
476
251
252
Стр.478
Раздел IV. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253
Глава 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10.3. Метод замены переменной
10.4. Метод интегрирования по частям
254
10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл 254
10.2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы
от основных элементарных функций
256
261
265
10.5. Интегрирование простейших рациональных дробей 269
10.6. Интегрирование некоторых видов иррациональностей 273
10.7. Интегрирование тригонометрических функций
10.8. Решение задач
Упражнения
276
278
10.9. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных
функциях 282
282
Глава 11. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
11.1. Понятие определенного интеграла, его геометрический
и экономический смысл
11.2. Свойства определенного интеграла
11.5. Замена переменной и формула интегрирования
по частям в определенном интеграле
285
285
290
11.3. Определенный интеграл как функция верхнего
предела 294
11.4. Формула Ньютона–Лейбница
11.6. Геометрические приложения определенного
интеграла 301
11.7. Несобственные интегралы
308
11.8. Приближенное вычисление определенных
интегралов 313
11.9. Использование понятия определенного интеграла
в экономике
11.10. Решение задач
Упражнения
Глава 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
12.1. Основные понятия
477
316
320
324
326
326
297
299
Стр.479
12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Теорема о существовании и единственности решения 329
12.3. Элементы качественного анализа
дифференциальных уравнений первого порядка
12.4. Неполные дифференциальные уравнения первого
порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
331
335
12.5. Однородные дифференциальные уравнения первого
порядка 338
12.6. Линейные дифференциальные уравнения первого
порядка 340
12.7. Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
12.8. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
12.9. Использование дифференциальных уравнений
в экономической динамике
Упражнения
Раздел V. РЯДЫ
Глава 13. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
13.1. Основные понятия. Сходимость ряда
341
342
351
355
357
358
358
13.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический
ряд 362
13.3. Ряды с положительными членами
13.4. Ряды с членами произвольного знака
13.5. Решение задач
Упражнения
Глава 14. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
14.1. Область сходимости степенного ряда
14.2. Ряд Маклорена
14.3. Применение рядов в приближенных вычислениях
14.4. Решение задач
364
371
375
379
381
381
386
391
394
Упражнения 399
Раздел VI. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 401
Глава 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 402
15.1. Основные понятия
478
402
Стр.480
15.2. Предел и непрерывность
15.3. Частные производные
15.4. Дифференциал функции
15.5. Производная по направлению. Градиент
15.6. Экстремум функции нескольких переменных
15.7. Наибольшее и наименьшее значения функции
15.10. Понятие двойного интеграла
407
409
411
412
415
419
15.8. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 422
15.9. Понятие об эмпирических формулах. Метод
наименьших квадратов
425
430
15.11. Функции нескольких переменных в экономической
теории 433
15.12. Решение задач
Упражнения
Приложение
Глава 16. Комплексные числа
16.1. Арифметические операции над комплексными числами.
Комплексная плоскость
16.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа
Упражнения
438
440
443
443
443
445
449
Литература 450
Ответы к упражнениям
Алфавитно-предметный указатель
451
461
479
Стр.481