Акимов, А.И. Акимов, Е.О. Каракулина СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов педвузов Оренбург 2015 УДК ББК А 39 517.58(075.8) 22.16я75 Рецензенты А.М. <...> А 40 Специальные функции: учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов педвузов / И.А. Акимов, А.И. Акимов, Е.О. Каракулина; Мин-во образования и науки Рос. <...> 36 3.5 Функции Бесселя второго и третьего рода . <...> Применение цилиндрических функций к задачам математической физики . <...> 42 4.2 Применение метода частных решений к краевой задачи для цилиндра. <...> 50 5.2 Наиболее употребительные формулы и соотношения, содержащие дельта-функцию Дирака . <...> Интеграл вероятности и связанные с ним функции . <...> 58 6.1 Интеграл вероятности и его основные свойства . <...> Интегральная показательная функция и родственные ей специальные функции . <...> 64 7.1 Интегральная показательная функция и ее основные свойства . <...> 69 Приложение А Сводка основных формул для решения уравнений Бесселя . <...> Комбинации показательных функций 1.1 Гиперболические функции Показательные функции широко применяются в математике и ее приложениях к естествознанию и технике. <...> Общее решение этого уравнения имеет вид 𝑦 = 𝐶𝑒!", то есть выражается с помощью показательной функции. <...> При заданных начальных условиях 𝑦 = 𝑦! при 𝑥 = 𝑥!, можно определить произвольную постоянную 𝐶 = 𝑦!𝑒!!!! и найти частное решение дифференциального уравнения 𝑦 = 𝑦!𝑒! !!!! , которое представляет собой интегральный закон рассматриваемого процесса. <...> Наряду с отдельными показательными функциями в математике и ее приложениях находят применение различные комбинации показательных функций, среди которых особое значение имеют некоторые линейные и дробно-линейные комбинации функций 𝑒! и 𝑒!! так называемые гиперболические функции. <...> Этих функций шесть, для них выведены следующие специальные наименования и обозначения: гиперболический синус sh𝑥 = 𝑒! <...> !!. Эти функции получили такие названия в связи <...>
СПЕЦИАЛЬНЫЕ_ФУНКЦИИ.pdf
УДК
ББК
А 39
517.58(075.8)
22.16я75
Рецензенты
А.М. Пищухин, доктор технических наук, профессор, декан факультета
информационных технологий Оренбургского государственного университета
В.В. Тугов, кандидат технических наук, доцент кафедры системного анализа и
управления Оренбургского государственного университета
Акимов, И. А.
А 40 Специальные функции: учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов педвузов / И.А. Акимов, А.И. Акимов,
Е.О. Каракулина; Мин-во образования и науки Рос. Федерации, ФГБОУ ВПО
«Оренб. гос. пед. ун-т». – Оренбург: Южный Урал, 2015.– 91 с.: ил.
УДК
ББК
517.58(075.8)
22.16я75
©Акимов И.А., Акимов А.И., Каракулина Е.О., 2015
© Оформление. Издательство Южный Урал, 2015
Стр.2
Содержание
1. Комбинации показательных функций .................................................................................. 4
1.1 Гиперболические функции ................................................................................................................. 4
1.2 Обратные гиперболические функции ........................................................................................... 7
2. Эйлеровы интегралы .................................................................................................................. 15
2.1 Гамма-‐функция и ее свойства .......................................................................................................... 15
2.2 Бета-‐функция и ее свойства .............................................................................................................. 23
3. Цилиндрические функции ....................................................................................................... 29
3.1 Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Уравнения Бесселя ................. 29
3.2 Бесселевы функции первого рода ................................................................................................. 31
3.3 Формулы приведения для бесселевых функций .................................................................... 34
3.4 Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................................................. 36
3.5 Функции Бесселя второго и третьего рода ................................................................................ 38
4. Применение цилиндрических функций к задачам математической физики .. 42
∂t +Cu в цилиндрической
4.1 Разделение переменных в уравнении Δu = 1
a2
∂2u
∂t2 +b∂u
системе координат ........................................................................................................................................... 42
4.2 Применение метода частных решений к краевой задачи для цилиндра. Пример из
теории теплопроводности ........................................................................................................................... 44
4.3 Задача об охлаждении цилиндра ................................................................................................... 47
5. Дельта-‐функция Дирака ............................................................................................................ 50
5.1 Понятие о дельта-‐функции Дирака ............................................................................................... 50
5.2 Наиболее употребительные формулы и соотношения, содержащие дельта-функцию
Дирака ............................................................................................................................................... 53
6. Интеграл вероятности и связанные с ним функции .................................................... 58
6.1 Интеграл вероятности и его основные свойства .................................................................... 58
6.2 Приложения к теории вероятностей ............................................................................................ 60
6.3 Приложение к теории теплопроводности. Остывание плоской поверхности
нагретого тела ................................................................................................................................................... 61
7. Интегральная показательная функция и родственные ей специальные
функции .................................................................................................................................................... 64
7.1 Интегральная показательная функция и ее основные свойства .................................... 64
7.2 Интегральный синус и косинус ....................................................................................................... 67
7.3 Интегральный логарифм ................................................................................................................... 69
Приложение А Сводка основных формул для решения уравнений Бесселя ............ 73
Приложение Б Таблица оригиналов и изображений .......................................................... 74
Приложение В Варианты контрольных работ ........................................................................ 76
Список использованной литературы .......................................................................................... 91
3
Стр.3