В ней обсуждаютсявопросы структурной устойчивости, теориябифуркаций, инвариантные торы и теоремы о центральном многообразии. <...> Поведение траекторий линейной системы вблизи седловых состояний равновесия . <...> Краеваязадача в окрестности седловой неподвижной точки . <...> Поведение линейных отображений вблизи неподвижных точек седлового типа. <...> Тем не менее, главнаяособенность сохранялась: поведение траекторий в аттракторе оставалось неустойчивым при малых гладких возмущениях системы. <...> В большинстве случаев пространство параметров многомерной модели может быть разделено на две области в соответствии с тем, является поведение ее траекторий простым или сложным. <...> По существу, эти гомоклинические структуры — основные строительные блоки динамического хаоса. <...> Особое внимание уделяетсяседловым состояниям равновесия и, в частности, ведущим и неведущим (сильно устойчивым) инвариантным многообразиям. <...> Наше рассмотрение сосредоточено на поведении траекторий отображенияПуанкаре в окрестности неподвижной точки. <...> Чтобы доказать существование инвариантного тора в такой системе, мы используем универсальный критерий — так называемый принцип кольца, применив его к системам с малыми возмущениями. <...> В случае периодической внешней силы поведение траекторий на двумерном инвариантном торе можно моделировать при помощи ориентируемого диффеоморфизма окружности. <...> Две заключительные главы, 5 и 6, посвящены, соответственно, локальным и глобальным центральным многообразиям. <...> В приложении доказываетсятеорема о приведении системы к специальной форме, удобной дляанализа поведениятраекторий вблизи седловой точки. <...> Рассмотрим следующую систему: x˙ = X(x)f(x), (1.1.6) где Cr-гладкаяфункция f(x): D →R1 не обращаетсяв нуль в D. <...> Кроме того, траектории обеих систем имеют одинаковое направление при f(x) > 0 ипротивоположное при f(x) < 0. <...> Принята следующая классификация фазовых траекторий: состояния равновесия, периодические траектории и незамкнутые <...>
Методы_качественной_теории_в_нелинейной_динамике._Часть_1.pdf
УДК 530
ББК 22.31
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биоло гия
• нефт е г азовые
т ехнологии
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
по проекту №01–01–14073
Шильников Л. П.,Шильников А. Л., Тураев Д.В., Чуа Л.
Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. — МоскваИжевск:
Институт компьютерных исследований, 2004, 416 стр.
Книга представляет собой наиболее полное руководство по методам нелинейной
динамики. В ней обсуждаютсявопросы структурной устойчивости, теориябифуркаций,
инвариантные торы и теоремы о центральном многообразии. Наряду с
классическими результатами в ней обсуждаютсяновые методы, в основном созданные
нижегородской школой нелинейной динамики.
Длястудентов и аспирантов, специализирующихся в области качественных
методов и динамического хаоса.
ISBN 5-93972-305-5
Институт компьютерных исследований, перевод на русский язык, 2004
c
c
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1998
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.4
Оглавление
Предисловие . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 9
ГЛАВА 1. Основные понятия . ... .. ... .. .. ... .. ... 20
1.1. Необходимые сведенияиз теории обыкновенных дифференциальных
уравнений ... .... .... .... ... .... . 20
1.2. Динамические системы. Основные понятия .. ... .... . 25
1.3. Качественное интегрирование динамических систем .... . 32
ГЛАВА 2. Грубые состояния равновесия динамических систем .. 38
2.1. Понятие состояния равновесия. Линеаризованная система . . 38
2.2. Качественное исследование двумерных и трехмерных линейных
систем . . .... ... .... .... .... ... .... . 41
2.3. Многомерные линейные системы. Инвариантные подпространства
... .... ... .... .... .... ... .... . 53
2.4. Поведение траекторий линейной системы вблизи седловых
состояний равновесия ... .... .... .... ... .... . 64
2.5. Топологическаяклассификация грубых состояний равновесия 75
2.6. Устойчивые состояния равновесия. Ведущие и неведущие
многообразия. .... ... .... .... .... ... .... . 82
2.7. Состоянияравновесияседлового типа. Инвариантные многообразия...
.... ... .... .... .... ... .... . 96
2.8. Решение вблизи седла. Краеваязадача . .... ... .... . 103
2.9. Задача гладкой линеаризации. Резонансы .... ... .... . 114
ГЛАВА 3. Грубые периодические траектории динамических систем 130
3.1. Отображение Пуанкаре.Неподвижнаяточка.Мультипликаторы131
3.2. Невырожденные одномерные и двумерные линейные отображения....
.... ... .... .... .... ... .... . 134
3.3. Неподвижные точки многомерных линейных отображений . . 142
3.4. Топологическаяклассификация неподвижных точек . .... . 146
3.5. Свойства нелинейных отображений вблизи устойчивой неподвижной
точки .... ... .... .... .... ... .... . 153
3.6. Неподвижные точки седлового типа. Инвариантные многообразия....
.... ... .... .... .... ... .... . 160
3.7. Краеваязадача в окрестности седловой неподвижной точки . 174
Стр.7
8ОГЛАВЛЕНИЕ
3.8. Поведение линейных отображений вблизи неподвижных точек
седлового типа. Примеры .. .... .... ... .... . 187
3.9. Геометрические свойства нелинейных отображений седлового
типа .... .... ... .... .... .... ... .... . 199
3.10. Нормальные координаты в окрестности периодической траектории
.... .... ... .... .... .... ... .... . 204
3.11. Уравненияв вариациях . . .... .... .... ... .... . 212
3.12. Устойчивость периодических траекторий. Периодические
траектории седлового типа .... .... .... ... .... . 221
3.13. Гладкаяэквивалентность и резонансы . . .... ... .... . 229
3.14. Автономные нормальные формы . .... .... ... .... . 238
3.15. Принцип сжимающих отображений. Седловые отображения. 243
ГЛАВА 4. Инвариантные торы ... .. ... .. .. ... .. ... 255
4.1. Неавтономные системы.. .... .... .... ... .... . 256
4.2. Теорема о существовании инвариантного тора. Принцип
кольца . .... .... ... .... .... .... ... .... . 262
4.3. Теорема о сохранении инвариантного тора ... ... .... . 279
4.4. Основы теории диффеоморфизмов окружности. Задачи синхронизации
.. .... ... .... .... .... ... .... . 286
ГЛАВА 5. Центральное многообразие. Локальный случай .. ... 291
5.1. Редукцияна центральное многообразие . .... ... .... . 295
5.2. Краеваязадача .... ... .... .... .... ... .... . 310
5.3. Теорема об инвариантном слоении ... .... ... .... . 326
5.4. Доказательство теорем о центральных многообразиях . . . . 340
ГЛАВА 6. Центральное многообразие. Нелокальный случай ... 350
6.1. Теорема о центральном многообразии длягомоклинической
петли . .... .... ... .... .... .... ... .... . 352
6.2. Отображение Пуанкаре вблизи гомоклинической петли . . . . 360
6.3. Доказательство теоремы о центральном многообразии вблизи
гомоклинической петли .... .... .... ... .... . 372
6.4. Теорема о центральном многообразии длягетероклинических
циклов . .... ... .... .... .... ... .... . 375
ПРИЛОЖЕНИЕ A. Специальныеформысистем вблизи состояния равновесия
седлового типа .. ... .. ... .. .. ... .. ... 384
ПРИЛОЖЕНИЕ B. Асимптотика первого порядка для траекторий
вблизинеподвижной точкиседлового типа . . . ... .. ... 396
Литература .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 407
Предметный указатель .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 412
Стр.8