Точка x называется внешней точкой множества X, если найдется окрестность точки x, не пересекающаяся с множеством X: ∃O(x) O(x) ∩X = ∅. <...> 34 Точка x называется граничной точкой множества X, если в любой окрестности точки x найдутся точки, принадлежащие X, и точки, не принадлежащие X: ∀O(x) O(x) ∩X = ∅ и O(x) ∩ CX = ∅. <...> Точка x называется изолированной точкой множества X, если найдется окрестность точки x, в которой нет других точек множества X, кроме точки x. <...> Точка x называется предельной точкой множества X, если в любой окрестности точки x найдется бесконечно много точек множества X. <...> Понятно, что если a – нижняя граница множества X, то число a−1 также будет нижней границей X, равно как и a−2 и любое число, меньшее a. <...> Наибольшая из всех нижних граней множестваX называется точной нижней гранью множества X и обозначается infX (читается: инфимум X). <...> 37 сверху, если найдется такое действительное число, что все элементы множества X не превосходят этого числа, т. е. Если ввести множество Y = {a ∈ R| a – нижняя граница множества X}, то определение точной нижней грани может быть сформулировано следующим образом: m = infX, если 1) m ∈ Y ; 2) ∀a ∈ Y a m. <...> Аналогичным образом определяется точная верхняя грань множества. <...> Если ввести множество Z = {b ∈ R| b – верхняя граница множества X}, то определение точной верхней грани может быть сформулировано следующим образом: M = supX, если 1) M ∈ Z; 2) ∀b ∈ Z b M. <...> 38 Первое условие этого определения говорит о том, что m является нижней границей множества X, а второе – что эта граница наибольшая, поскольку попытка увеличить число m приводит к тому, что это увеличенное число уже не ограничивает все элементы множества X снизу. <...> Поскольку M1 — точная верхняя грань, а M2 — верхняя грань множества X (по определению точная верхняя <...>
Математический_анализ_.pdf
УДК 517 (075.8)
Г 959
Ре це н з е н т ы:
кафедра высшей математики и физики
Уральского технического института связи и информатики
(заведующий кафедрой кандидат физико-математических
наук Н. И. Ильиных);
А. Г. Б а б е н к о, доктор физико-математических наук
(Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского
УрО РАН)
Гурьянова, К.Н.
Г 959 Математический анализ : [учеб. пособие] / К. Н. Гурьянова,
У. А. Алексеева, В. В. Бояршинов ; М-во образования
и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. — Екатеринбург
: Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 330 с.
ISBN 978-5-7996-1340-2
В пособии рассматриваются основные разделы теории
пределов, дифференциальное и интегральное исчисление
функций одной и нескольких переменных и их применение.
Содержится большое число иллюстративных упражнений
и задач, а также решенных задач – эталонов для самостоятельной
работы студентов.
Для студентов и преподавателей физических и математических
специальностей.
УДК 517 (075.8)
ISBN 978-5-7996-1340-2
-Уральский федеральный университет, 2014
c
c
- Гурьянова К. Н., Алексеева У. А.,
Бояршинов В. В., 2014
Стр.3
Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Элементы математической логики . . . . . . . . . . .
2. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Операции над множествами . . . . . . . . . . . .
2.3. Прямое (декартово) произведение . . . . . . . . .
3. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . .
4. Действительные (вещественные) числа . . . . . . . . .
4.1. Представление вещественных чисел в виде бесконечных
десятичных дробей . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Аксиоматическое определение множества вещественных
чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Следствия из аксиом действительных чисел . . . .
5. Полнота числовой прямой . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Ограниченные множества действительных чисел .
5.2. Принцип Архимеда и его следствия . . . . . . . .
6. Предел числовой последовательности . . . . . . . . . .
6.1. Понятие предела последовательности . . . . . . .
6.2. Свойства сходящихся последовательностей . . . .
6.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Монотонные последовательности . . . . . . . . .
7. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Определение предела функции в точке . . . . . .
7.3. Свойства предела функции . . . . . . . . . . . .
7
9
17
17
19
23
25
27
27
29
32
37
37
41
51
51
53
58
60
65
65
66
69
7.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 71
3
Стр.4
8. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Точки непрерывности и разрыва функции . . . . .
8.2. Функции, непрерывные на отрезке . . . . . . . .
8.3. Равномерная непрерывность функций . . . . . . .
8.4. Существование обратных функций . . . . . . . . .
8.5. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . .
73
73
75
78
79
80
81
9. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 85
9.1. Определение и геометрический смысл производной
функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Дифференцируемые функции. Дифференциал . . .
9.3. Производная сложной функции . . . . . . . . . .
9.4. Производная обратной функции . . . . . . . . . .
9.5. Производные и дифференциалы высших порядков .
9.6. Производная функции, заданной параметрически .
86
90
92
94
95
97
9.7. Основные теоремы дифференциального исчисления 98
9.8. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 104
9.9. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.10. Исследование поведения функции при помощи производных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства . 117
10.1. Некоторые методы вычисления неопределенного интеграла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
11. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.1. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости . . . . 128
11.2. Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . 131
11.3. Простейшие свойства интеграла . . . . . . . . . . 132
11.4. Теоремы о среднем значении . . . . . . . . . . . 134
11.5. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула
Ньютона–Лейбница . . . . . . . . . . . . . . 136
11.6. Методы вычисления определенного интеграла . . . 139
11.7. Приложения определенного интеграла . . . . . . . 142
4
Стр.5
12. Метрические пространства. Сходимость в пространстве Rn 145
12.1. Расстояние. Сходимость в метрическом пространстве 145
12.2. Метрическое пространство Rn
. . . . . . . . . . . 149
13. Предел функции многих переменных . . . . . . . . . . 157
14. Непрерывность функции многих переменных . . . . . . 164
14.1. Непрерывность в точке. Локальные свойства непрерывных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.2. Непрерывность на множестве. Свойства функций,
непрерывных на множестве . . . . . . . . . . . . 166
15. Дифференцируемость функции многих переменных . . . 170
15.1. Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.2. Определениедифференцируемости и дифференциала
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
15.3. Дифференцирование сложной функции . . . . . . 173
15.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
16. Неявные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
17. Замена переменных в дифференциальных выражениях . 187
17.1. Замена переменных в дифференциальных выражениях,
содержащих обыкновенные производные . . 187
17.2. Замена переменных в дифференциальных выражениях,
содержащих частные производные . . . . . . 189
18. Экстремум функции многих переменных . . . . . . . . 193
18.1. Определение и необходимые условия экстремума функции
нескольких переменных . . . . . . . . . . . . 193
18.2. Некоторые сведения о квадратичных формах . . . 196
18.3. Достаточные условия экстремума функции нескольких
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
18.4. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . 204
18.5. Наибольшие и наименьшие значения функции . . . 210
19. Геометрические приложения функций многих переменных 212
20. Вектор-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5
Стр.6
21. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
21.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . 223
21.2. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
21.3. Признаки сходимости знакопеременных рядов . . . 234
21.4. Теоремы о группировке и перестановке рядов . . . 242
21.5. Область сходимости функционального ряда. Степенной
ряд. Радиус сходимости степенного ряда . . . 246
21.6. Равномерная сходимость функциональной последовательности
и функционального ряда . . . . . . . 248
21.7. Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . 252
22. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
22.1. Двойные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . 262
22.2. Приложения двойных интегралов . . . . . . . . . 267
22.3. Примеры решения задач на двойные интегралы . . 269
22.4. Тройные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . 275
22.5. Приложения тройных интегралов . . . . . . . . . 279
23. Криволинейный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . 290
23.1. Определение криволинейного интеграла от векторфункции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
23.2. Криволинейный интеграл по длине дуги . . . . . . 310
24. Элементы теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
25. Ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . 328
Стр.7