Частные производные и дифференциал первого порядка . <...> Множества, содержащие бесконечное число элементов, называются бесконечными. например: множество натуральных чисел N, множество рациональных чисел Q, множество действительных чисел R. <...> Числовые множества Перечислим наиболее часто применяемые числовые множества: N = {1, 2, ., n} — множество натуральных чисел. <...> Точная верхняя и точная нижняя грани множества Множество А действительных чисел х называется ограниченным, велико положительное число М, найдется такое х0 ∈ А, что | х0 если существует положительное число М такое, что выполняется неравенство | х | < М для всех х ∈ А. <...> Число К (k) называется верхней (нижней) гранью множества А. <...> Число М (m) называется точной верхней (нижней) гранью множества А, если: 1) х ≤ М (m ≤ х) для всех х ∈ А. <...> 2) Как бы ни было мало ε > 0, найдется такое число х0 М – ε < х0 (х0 < m + ε). то есть точная верхняя грань является наименьшей среди всех верхних граней, а точная нижняя грань — наибольшей среди всех нижних граней. точная верхняя грань А обозначается М = sup A, а точная нижняя грань m = inf A (sup, inf — сокращения латинских слов supremum — наивысший, infimum — наинизший). <...> Существование точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества показывает следующая теорема: если непустое множество действительных чисел ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. (теорема о существовании точной грани у ограниченного множества.) <...> Абсолютная величина действительного числа абсолютной величиной действительного числа х называется такое неотрицательное число | х |, которое удовлетворяет условию | х | = { х, если х ≥ 0, –х, если х < 0. <...> Понятие числовой последовательности ловая последовательность (или просто последовательность) х1 обозначаемая {хn}. <...> Числа х1 вательности, а хn — общим членом последовательности. , х2 , ., хn Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее члена, например, { } 1 xn = n , т <...>
Математический_анализ_(2).pdf
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
П 83
П 83
Протасов Ю.М.
Математический анализ : учеб. пособие / Ю.М. Протасов. —
3-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА, 2024. — 164 с. — ISBN
978-5-9765-1234-4. — Текст : электронный.
Учебное пособие отражает основное содержание второго раздела
обще-научной дисциплины «Математика», являющейся федеральным
компонентом государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования по специальностям «Экономика» и
«Управление». Пособие включает материал по математическому
анализу.
Предназначено для помощи студентам в обобщении и конкретизации
знаний по данной дисциплине, закреплении изученного материала и
подготовке к сдаче экзамена.
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
ISBn 978-5-9765-1234-4
© Протасов Ю.М., 2021
© Издательство «ФлИнта», 2021
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................. 7
Тема 1. МНОЖЕСТВА ..................................................................................... 8
1.1. Понятие множества. Способы задания множеств ..................... 8
1.2. Операции над множествами ........................................................ 9
1.3. Числовые множества ................................................................. 11
1.4. точная верхняя и точная нижняя грани множества ................. 13
1.5. абсолютная величина действительного числа ........................ 14
Тема 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ .................................. 17
2.1. Понятие числовой последовательности ................................... 17
2.2. Предел последовательности ...................................................... 17
2.3. Существование предела у монотонной
ограниченной последовательности
(критерий Вейерштрасса) .......................................................... 18
2.4. Число е (второй замечательный предел) ................................... 19
2.5. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.)
последовательности ................................................................... 20
2.6. арифметические операции с пределами .................................. 21
2.7. Раскрытие неопределенностей ................................................. 23
2.8. теорема о «зажатой» последовательности ............................... 25
2.9. лемма о вложенных отрезках ................................................... 25
2.10. лемма Больцано — Вейерштрасса ............................................ 26
Тема 3. ФУНКЦИЯ И ЕЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ........................ 28
3.1. Понятие функции. Основные свойства функций .................... 28
3.2. Классификация функций ........................................................... 32
3.3. Преобразование графиков функций ......................................... 33
3
Стр.3
Тема 4. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ .............................. 41
4.1. Понятие предела функции ......................................................... 41
4.2. Бесконечно малые (б.м.) и бесконечно большие (б.б.)
функции ...................................................................................... 43
4.3. Основные теоремы о пределах .................................................. 45
4.4. непрерывность функции ............................................................ 47
4.5. Замечательные пределы ............................................................ 51
Тема 5. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ......................................................... 55
5.1. Понятие производной ................................................................ 55
5.2. Связь между непрерывностью
и дифференцируемостью функции ........................................... 55
5.3. Геометрический смысл производной.
Касательная и нормаль к кривой ................................................ 56
5.4. Механический смысл производной .......................................... 57
5.5. Основные правила дифференцирования функций .................. 58
5.6. Формулы дифференцирования
простейших элементарных функций ........................................ 61
5.7. Производные высших порядков ............................................... 63
Тема 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ..................................................... 65
6.1. Понятие дифференциала функции ........................................... 65
6.2. Применение дифференциала
в приближенных вычислениях .................................................. 67
6.3. Понятие о дифференциалах высших порядков ........................ 69
Тема 7. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ............................... 71
7.1. теорема Ферма ............................................................................ 72
7.2. теорема Ролля ............................................................................. 72
7.3. теорема Коши ............................................................................. 73
7.4. теорема лагранжа ....................................................................... 74
7.5. Правило лопиталя ..................................................................... 75
4
Стр.4
Тема 8. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ..................................................................... 78
8.1. Формула тейлора для многочлена ............................................ 78
8.2. Формула тейлора для функции ................................................ 79
8.3. Разложение элементарных функций по формуле тейлора ..... 81
8.4. Применение формулы тейлора
в приближенных вычислениях .................................................. 82
8.5. Применение формулы тейлора для вычисления пределов ..... 83
Тема 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ...................................................... 84
9.1. Возрастание и убывание функций ............................................ 84
9.2. Условия экстремума функций .................................................. 85
9.3. Выпуклость и вогнутость графика функции ............................ 87
9.4. точки перегиба ........................................................................... 88
9.5. асимптоты графика функции ................................................... 89
9.6. Общая схема исследования функций и построения
их графиков ................................................................................ 91
Тема 10. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ............................. 94
10.1. Область определения, линии и поверхности уровня ................ 94
10.2. Частные производные и дифференциал первого порядка ....... 96
10.3. Производная по направлению. Градиент .................................. 98
10.4. Экстремум функции нескольких переменных ........................ 100
10.5. Условный экстремум ................................................................ 103
Тема 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .............................................. 106
11.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл ........... 106
11.2. Свойства неопределенного интеграла, таблица
интегралов простейших элементарных функций ................... 107
11.3. независимость вида неопределенного интеграла
от выбора аргумента ................................................................. 109
11.4. Методы интегрирования функций ........................................... 110
5
Стр.5
Тема 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ................................................... 118
12.1. Понятие определенного интеграла .......................................... 118
12.2. Свойства определенного интеграла ......................................... 119
12.3. теорема о среднем .................................................................... 120
12.4. Производная интеграла по верхнему пределу ........................ 121
12.5. Формула ньютона—лейбница ................................................ 122
12.6. Геометрические приложения определенного интеграла ....... 122
12.7. несобственные интегралы ....................................................... 124
Тема 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .................................... 127
13.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Основные понятия ..................................................................... 127
13.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
первого порядка ........................................................................ 129
13.3. линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами ................ 138
Тема 14. РЯДЫ .................................................................................................. 145
14.1. Числовые ряды .......................................................................... 145
14.2. Степенные ряды ........................................................................ 155
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................... 162
6
Стр.6