А. Ю. Чеботарев
Институт прикладной математики ДВО РАН, 690041 Владивосток
E-mail: cheb@iam.dvo.ru
Рассмотрена задача импульсного управления для трехмерной модели магнитной гидродинамики. <...> Показано, что сингулярности решения уравнений магнитной гидродинамики
с течением времени не развиваются из-за подавления их магнитным полем. <...> 49, N-◦ 5
6
Задача оптимального управления состоит в нахождении допустимой пары {f, y}, минимизирующей функционал
ZT
1
λ
J(f, y) =
ky(t)k4 dt + kf k2U . <...> Множество допустимых пар не пусто, если, например, решение u системы уравнений Навье — Стокса с начальным условием (5) при нулевом магнитном поле принадлежит классу
L4 (0, T ; V1 ). <...> Как указано в замечании 1, при выполнении условий теоремы
множество допустимых пар не пусто. <...> Для последовательности допустимых пар {fk , yk },
минимизирующей функционал J, справедливо неравенство
1
4
ZT
kyk (t)k4 dt +
λ
kfk k2U 6 C,
2
0
где постоянная C не зависит от k. <...> На основе
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. <...> Одним из перспективных методов получения новых материалов является
компактирование микро- и нанопорошков в ударных волнах [1–3]. <...> Сначала методом молекулярной
динамики решается задача о компактировании наноячейки под действием импульсной нагрузки. <...> В настоящей работе данный
подход обобщается на смесь порошков меди Cu и молибдена Mo. <...> Выбор такого состава обусловлен тем, что композиты, полученные методом взрывного компактирования из
смеси порошков Cu и Mo, обладают высокой эрозионной стойкостью и используются при
изготовлении электродов [6, 7]. <...> Кроме того, в работе [7] проведены подробные металлографические исследования структуры композита Cu–Mo, что позволяет сравнить результаты
расчетов с данными эксперимента [7]. <...> Схема нагружения наноячейки Cu–Mo импульсом давления Pv (t):
а — наноячейка; б — импульс давления; штриховая линия — сферический поршень;
стрелки — приложенное внешнее давление Pv (t)
Постановка задачи. <...> Рассмотрим задачу о компактировании сферической наноячейки под действием импульсной <...>
Прикладная_механика_и_техническая_физика_№5_2008.pdf
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2008. Т. 49, NУДК
517.95
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТОРМОЖЕНИЕМ МГД-ТЕЧЕНИЯ
А. Ю. Чеботарев
Институт прикладной математики ДВО РАН, 690041 Владивосток
E-mail: cheb@iam.dvo.ru
Рассмотрена задача импульсного управления для трехмерной модели магнитной гидродинамики.
Показано, что сингулярности решения уравнений магнитной гидродинамики
с течением времени не развиваются из-за подавления их магнитным полем. Доказано
существование оптимального управления, построена система оптимальности, решение
которой регулярно в целом по времени.
Ключевые слова: уравнения магнитной гидродинамики, импульсное управление,
условия оптимальности.
ниченной односвязной области Ω ⊂ R3 со связной границей Γ = ∂Ω моделируется уравнениями
магнитной гидродинамики (МГД) в безразмерных переменных:
Введение. Течение однородной вязкой несжимаемой и проводящей жидкости в ограdivu
= 0,
∂B
∂t +rotE = 0,
divB = 0;
∂u
∂t −ν∆u+(u ·∇)u = −∇p+S · rotB ×B +q, x ∈ Ω, t ∈ (0,T);
rotB = 1
νm
(E +u×B).
(1)
(2)
(3)
Здесь u, B, E — векторные поля скорости, магнитной индукции и электрической напряженности
соответственно; p — давление; q = q(x) — плотность внешних сил; ν = 1/ Re;
νm = 1/Rem; S = M2/(ReRem); Re — число Рейнольдса; Rem — магнитное число Рейнольдса;
M — число Гартмана.
К уравнениям (1)–(3) добавляются условия на границе Γ области течения
u = 0, B · n = 0, n×E = 0,
t=0 = u0(x), B
(x, t) ∈ Γ×(0,T)
(n — единичный вектор внешней нормали к границе Γ) и начальные условия
u
t=0 = 0, x ∈ Ω.
(4)
(5)
Предлагается способ торможения течения с помощью импульсного управления магнитным
полем. В качестве управляющих функций выбираются скачки bi магнитного поля
в моменты времени 0 < t1 < t2 < . . . < tm < T. В этом случае МГД-течение описывается
уравнениями (1), (3) и уравнениями
m
∂B
∂t +rotE =
i=1
δ(t−ti)bi,
rotB = 1
νm
(E +u×B)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
и ДВО РАН (код проекта 06-01-96003), Фонда содействия отечественной науке и в рамках программы
“Ведущие научные школы РФ” (грант № НШ-9004.2006.1).
◦ 5
3
Стр.1
4
ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2008. Т. 49, N◦
5
с начально-краевыми условиями (4), (5). Здесь δ(t−ti) — δ-функция Дирака с носителем
в точке ti.
Задача состоит в минимизации функционала
J = 1
4
T
0
Ω
((rotu)2 +(rotB)2)2 dx dt+ λ
2
i=1
m
Ω
(rot bi)2 dx
(λ > 0 — параметр регуляризации).
Классические краевые задачи для эволюционной модели (1)–(3) изучены в [1, 2]. Задачи
оптимального управления эволюционными системами Навье — Стокса впервые исследованы
в [3–5]. Оптимальное управление нестационарными уравнениями магнитной
гидродинамики рассмотрено в [6]. При исследовании задач оптимального управления трехмерными
системами уравнений типа Навье — Стокса основной проблемой является регулярность
оптимального состояния течения. Для данной постановки показано, что с течением
времени сингулярности решения (в смысле Лере) не развиваются из-за подавления их
магнитным полем. Доказана разрешимость задачи управления. Построена система оптимальности,
регулярность которой обоснована в целом по времени. Метод вывода условий
оптимальности близок к методу, предложенному в [7].
1. Формализация и разрешимость задачи управления. Для упрощения преобразований
выполним перенормировку
B = √SB, E = √SE.
Тогда система (1)–(3) принимает вид
divu = 0,
divB = 0;
u −ν∆u+(u ·∇)u = −∇p+rotB ×B +q, x ∈ Ω, t ∈ (0,T);
B +rotE = 0, E = νm rotB −u×B,
где u = ∂u/∂t; B = ∂B/∂t.
Рассмотрим вектор-функции и операторы, необходимые для анализа задачи управления
пространством [2]. Пусть Ω — односвязная область в пространстве R3 со связной
границей Γ ∈ C2. Введем пространства
U1 = {v ∈ C∞(¯
U2 = {v ∈ C∞(¯
V1 — замыкание U1 по норме W1
ние U1 по норме L2(Ω), H2 — замыкание U2 по норме L2(Ω).
Будем полагать, что
(u,v)0 =
Ω
Ω
(u · v) dx —
скалярное произведение в пространствах H1 и H2,
((u,v)) = (rotu, rotv)0 =
(rotu · rotv) dx
∀u,v ∈ V1,V2 —
скалярное произведение в пространствах V1 и V2, при этом определяемая им норма эквивалентна
норме пространства W1
2 (Ω). Пусть X — банахово пространство. Тогда через
Ω): div v = 0, x ∈ Ω, v = 0, x ∈ Γ},
Ω): div v = 0, x ∈ Ω, n · v = 0, x ∈ Γ},
2 (Ω), V2 — замыкание U2 по норме W1
2 (Ω), H1 — замыка
Стр.2